Pri pohybe dotykového bodu
po regulárnej krivke sa
mení smer dotyčnice v tomto bode. Rýchlosť zmeny smeru dotyčnice
charakterizuje stupeň zakrivenia krivky. Čím viac sa v okolí bodu
dotyku krivka odkláňa od dotyčnice v tomto bode, tím má
väčšiu prvú krivosť (alebo krivosť či flexiu).
Obrázok 5.3:
Krivosť.
![\begin{figure}
\centerline{\protect{\psfig{figure=g-obr3.eps,height=4cm}}}
\end{figure}](img3650.gif) |
Ak je krivka
definovaná vektorovou rovnicou (#1#>), potom jej
krivosť v bode
vypočítame zo vzťahu
![\begin{displaymath}
{\mathcal K}^2(t_0)={\displaystyle \frac{\vert {\bf\dot p...
...(t_0) \vert^2}{({\bf\dot p}(t_0) \cdot {\bf\dot p}(t_0))^3}}.
\end{displaymath}](img3651.gif) |
(5.33) |
Ak je krivka daná parametrickými rovnicami (#5#>), potom krivosť v
bode
vypočítame zo vzťahu
Ak je krivka
daná vektorovou rovnicou (5.22), v ktorej parametrom je
oblúk
, potom krivosť v bode
vypočítame zo vzťahu
![\begin{displaymath}
{\mathcal K}(s_0) = \vert {\bf p''(s_0)} \vert
\end{displaymath}](img3653.gif) |
(5.34) |
alebo
Polomer krivosti krivky
v bode
je prevrátenou
hodnotou prvej krivosti krivky
v tomto bode, t.j.
-
Príklad 14.
Vypočítajme prvú krivosť v ľubovoľnom bode skrutkovice
(5.4).
Riešenie: Norma vektorového súčinu (5.30) v čitateli vzťahu
(5.33) je
![\begin{displaymath}
\vert {\bf\dot p}(t_0) \times {\bf\ddot p}(t_0) \vert=\sqrt {c^2r^2 \sin^2
t +c^2r^2 \cos^2 t +r^4}=\sqrt {r^2(c^2+r^2)}
\end{displaymath}](img3656.gif) |
(5.35) |
a skalárny súčin v menovateli vzťahu (5.33) je vzhľadom na
(5.24) a (5.29)
Potom
To znamená, že prvá krivosť
nezávisí od parametra
, a teda je konštantná pozdĺž celej
skrutkovice.
Nutnou a postačujúcou podmienkou na to, aby daná regulárna
krivka bola priamkou je, aby v každom bode tejto krivky bola prvá
krivosť rovná nule.