Oskulačná rovina krivky

Každá rovina, ktorá prechádza dotyčnicou regulárnej krivky $k$ sa nazýva dotykovou rovinou krivky. Medzi týmito rovinami existuje významná rovina, ktorá sa nazýva oskulačná rovina krivky. V bode $P(t_0)$ krivky $k$ zostrojme dotyčnicu d. Cez dotyčnicu d a ďalší bod $P(t_0+h)$, $h \ne 0$ krivky $k$ položme rovinu. Oskulačná rovina ${\bf\tau}$ v bode $P(t_0)$ je limitnou polohou takto zostrojenej roviny pre $h \to 0$. Za predpokladu, že v bode $P(t_0)$ krivky $k$ existujú derivácie

$${\bf\dot p}(t_0), \qquad {\bf\ddot p}(t_0)$$ (5.28)

a tieto vektory sú lineárne nezávislé, existuje v bode $P(t_0)$ práve jedna oskulačná rovina rovnobežná s vektormi (5.28). Ak ${\bf r}=[x,y,z]$ je označenie pre polohový vektor jej ľubovoľného bodu, potom vektorová rovnica oskulačnej roviny je

$$({\bf r}-{\bf p}(t_0)) \cdot ({\bf\dot p}(t_0) \times {\bf\ddot p}(t_0))=0$$

alebo

$$\left\vert \begin{array}{ccc} x-x(t_0) & y-y(t_0) & z-z(t_... ...& \ddot y(t_0) & \ddot z(t_0) \\ \end{array} \right\vert=0.$$

V prípade, že sú vektory (5.28) lineárne závislé, každá dotyková rovina zostrojená v bode $P(t_0)$ je súčasne oskulačnou rovinou. -

Príklad 11. Určme rovnicu oskulačnej roviny ku skrutkovici (5.4) vo všeobecnom bode a v bode $t=0$.

Riešenie: K výpočtu oskulačnej roviny potrebujeme okrem vektorovej funkcie (5.4) a jej derivácie (5.24) aj druhú deriváciu podľa parametra $t$

$${\bf\ddot p}(t)=[- r \cos t, - r \sin t, 0].$$ (5.29)

Najskôr vypočítame vektorový súčin

$${\bf\dot p} \times {\bf\ddot p}= \left\vert \begin{array... ...\ - r \cos t & - r \sin t & 0 \\ \end{array} \right\vert=$$ (5.30)

$$=cr \sin t \; {\bf i}-cr \cos t \; {\bf j}+(r^2 \sin^2 t + r^... ... k}=cr \sin t \; {\bf i}-cr \cos t \; {\bf j}+r^2 \; {\bf k}.$$

Získaný vektor môžeme vydeliť nenulovým polomerom $r$. Nasleduje výpočet skalárneho súčinu

$$([x,y,z]-[r \cos t, r \sin t, ct]) \cdot [c \sin t, -c \cos t, r]=0,$$

po úprave ktorého dostaneme rovnicu hľadanej oskulačnej roviny v bode $t$

$$cx \sin t - cy \cos t + rz - crt = 0$$

a v bode $t=0$

$$c y - rz = 0.$$

$\clubsuit$