Hlavná normála a binormála krivky

Každá priamka prechádzajúca bodom $P(t_0)$ regulárnej krivky $k$ kolmá na dotyčnicu sa nazýva normála krivky $k$ v bode $P(t_0)$. Normálu, ktorá leží v oskulačnej rovine $\tau$ budeme nazývať hlavnou normálou a označovať ${\bf n}$. Pod pojmom binormála ${\bf b}$ krivky $k$ budeme rozumieť priamku, ktorá prechádza bodom $P(t_0)$ a je kolmá súčasne na príslušnú dotyčnicu i hlavnú normálu. Binormála je teda kolmá na oskulačnú rovinu a preto vektorová rovnica binormály je

$${\bf b}={\bf p}(t_0)+ \lambda ({\bf\dot p}(t_0) \times {\bf\ddot p}(t_0)),$$

kde $\lambda \in (-\infty,\infty)$ je parameter, b je označenie pre polohový vektor ľubovoľného bodu binormály a $x,y,z$ sú súradnice tohto vektora, resp. súradnice ľubovoľného bodu binormály. Parametrické rovnice binormály sú

$$x=x(t_0)+ \lambda \left\vert \begin{array}{cc} \dot y(t_0... ...\ \ddot y(t_0) & \ddot z(t_0) \\ \end{array} \right\vert,$$

$$y=y(t_0)+ \lambda \left\vert \begin{array}{cc} \dot z(t_0... ...\ \ddot z(t_0) & \ddot x(t_0) \\ \end{array} \right\vert,$$

$$z=z(t_0)+ \lambda \left\vert \begin{array}{cc} \dot x(t_0... ...\ \ddot x(t_0) & \ddot y(t_0) \\ \end{array} \right\vert.$$

Keďže pre hrany sprievodného trojhranu platí

$${\bf b}={\bf d} \times {\bf n}, \qquad {\bf d}={\bf n} \times {\bf b}, \qquad {\bf n}={\bf b} \times {\bf d},$$

vektorová rovnica hlavnej normály je

$${\bf n}={\bf p}(t_0)+ \lambda (({\bf\dot p}(t_0) \times {\bf\ddot p}(t_0)) \times {\bf\dot p}(t_0)),$$

kde $\lambda \in (-\infty,\infty)$ je parameter, n je označenie pre polohový vektor ľubovoľného bodu hlavnej normály a $x,y,z$ sú súradnice tohto vektora, resp. súradnice ľubovoľného bodu hlavnej normály. Parametrické rovnice hlavnej normály sú

$$x=x(t_0)+ \lambda \left (\dot z(t_0) \left\vert \begin{arr... ... x(t_0) & \ddot y(t_0) \\ \end{array} \right\vert \right ),$$

$$y=y(t_0)+ \lambda \left (\dot x(t_0) \left\vert \begin{arr... ... y(t_0) & \ddot z(t_0) \\ \end{array} \right\vert \right ),$$

$$z=z(t_0)+ \lambda \left (\dot y(t_0) \left\vert \begin{arr... ... z(t_0) & \ddot x(t_0) \\ \end{array} \right\vert \right ).$$

-

Príklad 12. Určme rovnice hlavnej normály a binormály skrutkovice (5.4) vo všeobecnom bode a v bode $t=0$.

Riešenie: V predchádzajúcom príklade sme vypočítali vektorový súčin ${\bf\dot p} \times {\bf\ddot p}$ (5.30), môžeme teda priamo zapísať rovnicu binormály v bode $t$

$${\bf b}=[r \cos t, r \sin t, ct]+ \lambda [c \sin t, -c \cos t, r]$$

a v bode $t=0$

$${\bf b}=[r, 0,0]+ \lambda [0, -c, r].$$

K výpočtu hlavnej normály potrebujeme vektorový súčin

$$({\bf\dot p} \times {\bf\ddot p})\times {\bf\dot p}= \le... ... \right\vert=-(c^2+r^2)(\cos t \; {\bf i}+\sin t \; {\bf j}).$$ (5.31)

Získaný vektor môžeme vydeliť nenulovým $-(c^2+r^2)$. Potom rovnica hlavnej normály v bode $t$ je

$${\bf n}=[r \cos t, r \sin t, ct]+ \lambda [\cos t, \sin t, 0]$$

a v bode $t=0$

$${\bf n}=[r, 0,0]+ \lambda [1, 0, 0].$$

$\clubsuit$