Vektorová rovnica krivky

Krivkou $k$ nazývame graf vektorovej funkcie ${\bf p}(t)$ reálnej premennej (parametra) $t$, ak funkcia ${\bf p}(t)$ má tieto vlastnosti:

1. je definovaná na intervale $J$,
2. je spojitá na intervale $J$,
3. existuje taký rozklad $\{\langle t_{k-1},t_k\rangle \}$, $k=1,2,\dots$ intervalu $J$, že je prostá na množine $J-\{t_k\}_k$.

Rovnicu (5.1) (resp. (5.2) a (5.3)) nazývame vektorovou rovnicou krivky $k$ v danom súradnicovom systéme. Ak je funkcia ${\bf p}(t)$ prostá na celom intervale $J$, hovoríme o jednoduchej krivke, v opačnom prípade krivka obsahuje viacnásobné body. Ak je funkcia ${\bf p}(t)$ definovaná na uzavretom intervale $J=\langle a,b\rangle$, potom krivka sa nazýva oblúk. -

Príklad 1. Vektorová funkcia

$${\bf p}(t)=[r \cos t, r \sin t, ct],$$ (5.4)

kde $t \in (-\infty,\infty)$, $r>0$, $c \ne 0$ je spojitá a prostá na obore definície. Jej grafom je rovnomerná skrutkovica, ležiaca na rotačnej valcovej ploche $x^2+y^2=r^2$. Je to jednoduchá krivka. $\clubsuit$ -

Príklad 2. Krivka ${\bf p}(t)=[t^2, t-t^3,t^4+1]$ nie je jednoduchá, lebo pre $t=1$ a $t=-1$ je ${\bf p}(1)={\bf p}(-1)$, teda funkcia ${\bf p}(t)$ nie je prostá. Bod $[1,0,2]$ je dvojnásobným bodom tejto krivky. $\clubsuit$