Vektorová funkcia

Základom theórie kriviek je pojem vektorovej funkcie jednej reálnej premennej, funkcie ${\bf p}$, ktorá každému číslu $t$ z jednorozmerného intervalu $J$ priraďuje práve jeden vektor ${\bf p}(t)$. Pre túto funkciu používame zápis

$${\bf p}={\bf p}(t), \qquad t \in J,$$ (5.1)

alebo po zložkách

$${\bf p}=[x(t), y(t), z(t)], \qquad t \in J,$$ (5.2)

resp.

$${\bf p}=x(t){\bf i}+y(t){\bf j}+z(t){\bf k}, \qquad t \in J,$$ (5.3)

kde $x(t), y(t), z(t)$ sú reálne funkcie definované na spoločnom intervale $J$. Pre vektorovú funkciu môžeme vzhľadom na vzťah (5.3) definovať pojmy limita, spojitosť a derivácia pomocou týchto pojmov pre reálnu funkciu reálnej premennej (kapitoly 6.5, 6.6 a 7, Riešené úlohy z matematiky I). Vektorová funkcia ${\bf p}(t)$ má v bode $t_0$ limitu ${\bf p_0}$

$$\lim_{t \to t_0} {\bf p}(t)={\bf p_0},$$

ak pre každú postupnosť $\{t_n\}$ takú, že

$$\lim_{n \to \infty} t_n=t_0, \qquad t_n \ne t_0, \qquad t_n \in J,$$

príslušná postupnosť funkčných hodnôt $\{{\bf p}(t_n)\}$ konverguje k vektoru ${\bf p_0}$. Vektorová funkcia (5.3) má v bode $t_0$ limitu práve vtedy, ak v tomto bode majú limitu reálne funkcie $x(t), y(t), z(t)$. Vektorová funkcia ${\bf p}(t)$ je spojitá v bode $t_0$, ak

$$\lim_{t \to t_0} {\bf p}(t)={\bf p}(t_0).$$

Vektorová funkcia (5.3) je spojitá v bode $t_0$ práve vtedy, ak sú v tomto bode spojité reálne funkcie $x(t), y(t), z(t)$. Vektorová funkcia ${\bf p}(t)$ má deriváciu $d{\bf p}(t)/dt$ v bode $t_0$ ak existuje limita

$$\left [\frac{d{\bf p}(t)}{dt}\right ]_{t=t_0}=\lim_{t \to t_0} \frac{{\bf p}(t)-{\bf p}(t_0)}{t-t_0}.$$

Vektorová funkcia (5.3) má v bode $t_0$ deriváciu práve vtedy, ak v tomto bode majú deriváciu reálne funkcie $x(t), y(t), z(t)$.