Dotyčnica krivky

Medzi všetkými priamkami, ktoré prechádzajú bodom $P(t_0)$ regulárnej krivky $k$ existuje významná priamka, ktorá sa nazýva dotyčnica. Na krivke $k$ zvoľme dva rôzne body $P(t_0)$ a $P(t_0+h), h \ne 0$. Priamka prechádzajúca týmito bodmi sa nazýva sečnica krivky $k$. Dotyčnica v bode $P(t_0)$ je limitnou polohou sečnice pre $h \to 0$. V každom bode $P(t_0)=[x(t_0),y(t_0),z(t_0)]$ regulárnej krivky existuje práve jedna dotyčnica. Ak je krivka popísaná rovnicami (5.1) alebo (5.5), potom vektorová rovnica dotyčnice je

$${\bf d}={\bf p}(t_0)+ \lambda {\bf\dot p}(t_0)$$ (5.26)

a parametrické rovnice dotyčnice sú

$$x=x(t_0)+\lambda \dot x(t_0), \qquad y=y(t_0)+\lambda \dot y(t_0), \qquad z=z(t_0)+\lambda \dot z(t_0),$$ (5.27)

kde $\lambda \in (-\infty,\infty)$ je parameter, d je označenie pre polohový vektor ľubovoľného bodu dotyčnice a $x,y,z$ sú súradnice tohto vektora, resp. súradnice ľubovoľného bodu dotyčnice. -

Príklad 10. Určme rovnicu dotyčnice ku skrutkovici (5.4) vo všeobecnom bode a v bode $t=0$.

Riešenie: Do vzťahu (5.26) alebo do vzťahov (5.27) dosadíme výrazy (5.4) a (5.24). Dostaneme vektorovú rovnicu dotyčnice vo všeobecnom bode $P(0)$

$${\bf d}=[r \cos t, r \sin t, ct] + \lambda [- r \sin t, r \cos t, c],$$

alebo parametrické rovnice dotyčnice

$$x=r \cos t - \lambda r \sin t, \qquad y=r \sin t + \lambda r \cos t, \qquad z=ct + \lambda c.$$

Vektorovú rovnicu dotyčnice v bode $t=0$ môžeme písať v tvare

$${\bf d}=[r,0,0] + \lambda [0,r,c],$$

alebo

$$x=r, \qquad y=\lambda r, \qquad z=\lambda c.$$

$\clubsuit$