Dĺžka krivky, prirodzená parametrizácia krivky

Nech je vektorovou rovnicou (5.1) definovaná regulárna krivka $k$. Označme $P(t_0)$ a $P(t)$ body, odpovedajúce na krivke $k$ ľubovolnej ale pevnej hodnote $t_0$ a nejakej hodnote $t$ z intervalu $J$. Na intervale $J$ definujme funkciu

$$s(t)=\int _{t_0}^t \vert {\bf\dot p}(t) \vert\, dt=\int _{t_0}^t \sqrt{{\bf\dot p}(t) \cdot {\bf\dot p}(t)}\, dt,$$ (5.19)

respektíve

$$s(t)=\int _{t_0}^t \sqrt{(\dot x(t))^2+(\dot y(t))^2+(\dot z(t))^2}\, dt.$$ (5.20)

Každej hodnote parametra $t \in J$ môžeme priradiť číslo $\vert s(t) \vert$, ktoré vyjadruje dĺžku krivky medzi bodmi $P(t_0)$ a $P(t)$. Z rovnice (5.9) vyplýva, že derivácia

$$\dot s(t)=\sqrt{(\dot x(t))^2+(\dot y(t))^2+(\dot z(t))^2}=\sqrt{{\bf\dot p}(t) \cdot {\bf\dot p}(t)} \ne 0$$

je pre všetky $t \in J$ rôzna od nuly. Funkcia $s=s(t)$, $t \in J$ je teda rýdzo monotónna a môžeme k nej zostrojiť inverznú funkciu

$$t=t(s), \qquad s \in I,$$ (5.21)

ktorá realizuje vzájomne jednoznačné zobrazenie intervalu $I$ na interval $J$. Pre deriváciu tejto inverznej funkcie platí

$$\frac {dt}{ds}=\frac {1}{\dot s(t)}=\frac {1}{\sqrt{(\dot x(t... ...^2}}=\frac{1}{\sqrt{{\bf\dot p}(t) \cdot {\bf\dot p}(t)}}\ne 0$$

pre všetky $t \in J$. Pomocou funkcie (5.21) môžeme previesť na skúmanej krivke transformáciu parametra. Dostaneme tak novú vektorovú rovnicu krivky

$${\bf p}={\bf p}[t(s)]={\bf p}(s), \qquad s \in I,$$ (5.22)

v ktorej parametrom je dĺžka oblúka krivky od bodu $P(t_0)$ do bodu $P(t)$ a ktorú nazývame prirodzenou parametrizáciou krivky. Všetky derivácie podľa oblúka

$$\frac{d{\bf p}}{ds}=\frac{d{\bf p}}{dt} \frac{dt}{ds}$$

budeme označovať čiarkou, t.j.

$${\bf p'}={\bf\dot p}\frac{dt}{ds}$$

na rozdiel od derivácií podľa všeobecného parametra, ktoré označujeme bodkou. Pre veľkosť vektora ${\bf p'}$ platí

$$\vert {\bf p'} \vert=\sqrt{{\bf p'} \cdot {\bf p'}}=\sqrt... ...ot p}} \; \frac{1}{\sqrt{{\bf\dot p} \cdot {\bf\dot p}}}=1.$$ (5.23)

Vlastnosť (5.23) je nutnou a postačujúcou podmienkou na to, aby parametrizácia ${\bf p}={\bf p}(s)$ bola prirodzenou parametrizáciou regulárnej krivky $k$. -

Príklad 9. Nájdime prirodzenú parametrizáciu skrutkovice (5.4).

Riešenie: Na krivke (5.4) zavedieme nový parameter, ktorý je oblúkom. Vypočítame prvú deriváciu podľa všeobecného parametra $t$

$${\bf\dot p}(t)=[- r \sin t, r \cos t, c]$$ (5.24)

a dĺžku krivky zo vzťahu (5.20)

$$s(t)=\int _0^t \sqrt{r^2 \sin^2 t+r^2 \cos^2 t +c^2} \; dt=t\sqrt{r^2+c^2}, \qquad t \in (-\infty,\infty).$$

K funkcii $s(t)$ vypočítame inverznú funkciu

$$t= {\displaystyle \frac{s}{\sqrt{r^2+c^2}}}, \qquad s \in (-\infty,\infty).$$

Odtiaľ vyplýva, že hľadaná vektorová rovnica, v ktorej parameter $s$ je oblúkom, má tvar

$${\bf p}(s)=[ r \cos {\displaystyle \frac{s}{\sqrt{r^2+c^... ...qrt{r^2+c^2}}}, {\displaystyle \frac{cs}{\sqrt{r^2+c^2}}} ].$$ (5.25)

$\clubsuit$ Prirodzená parametrizácia má veľký význam pri teoretických úvahách. Pri konkrétnom počítaní ju nebudeme vedieť vždy určiť lebo integrály na pravej strane vzťahov (5.19) a (5.20) môžu byť komplikované alebo primitívna funkcia nie je elementárna.