Obsah povrchu rotačnej plochy

Obsah povrchu rotačnej plochy, ktorá vznikne rotáciou grafu funkcie $f$ v intervale $\langle a,b \rangle$ okolo osi $o_x$ vypočítame pomocou integrálu

$$S~= 2 \pi \int\limits_a^b \vert f(x)\vert \sqrt{1 + (f'(x))^2}\,dx.$$ (2.26)

Osah povrchu rotačnej plochy, ktorá vznikne rotáciou uzavretej krivky určenej parametrickými rovnicami 2.18 okolo osi $o_x$ vypočítame pomocou integrálu

$$S~= 2 \pi \int\limits_{\alpha}^{\beta} \vert\psi(t)\vert \sqrt{(\varphi'(t))^2 + (\psi'(t))^2}\,dt.$$ (2.27)

Poznamenajme, že na platnosť vzťahu je potrebná existencia derivácie funkcií $\varphi$ a $\psi$ v intervale integrácie.

-

Príklad 33. Vypočítame obsah povrchu plochy, ktorá vznine rotáciou krivky $y = \sin 2x$ v intervale $\langle 0,\frac{\pi}{2} \rangle$ okolo osi $o_x$.

Riešenie: Použijeme vzťah (2.26) a substitúciu $t = 2 \cos 2x$.

$$S~= 2 \pi \int\limits_0^{\frac{\pi}{2}} \sin 2 x \sqrt{1 + 4 \cos^2 2x}\,dx =$$

$$= 2 \pi \int\limits_2^{-2} \sqrt{1 + t^2} \left( -\frac14 \r... ...)\,dt = \frac{\pi}{2} \int\limits_{-2}^2 \sqrt{1 + t^2}\,dt =$$

$$= \frac{\pi}{2} \left[ \frac{t}{2}\sqrt{1+t^2} + \frac12\l... ... \right]_{-2}^2 = \frac{\pi}{2}(2 \sqrt{5} + \ln(\sqrt{5}+2)).$$

Pri výpočte primitívnej funkcie v poslednom integrále sme použili výsledok Príkladu (0) z časti Neurčitý integrál. $\clubsuit$

-

Príklad 34. Vypočítame obsah povrchu plochy, ktorá vznikne rotáciou asteroidy $x = a~\cos^3 t,\ y = a~\sin^3 t,\ t \in \langle 0,\frac{\pi}{2} \rangle$.

Riešenie: Podrobnosti výpočtu sú podobné ako v Príklade 0.

$$S~= 2 \pi \int\limits_0^{\frac{\pi}{2}} a~\sin^3 t \sqrt{9 a^2 \cos^4 t \sin^2 t + 9 a^2 \sin^4 t \cos^2 t}\,dt =$$

$$= 2 \pi \int\limits_0^{\frac{\pi}{2}} a~\sin^3 t (3 a~\cos t \sin t\,dt = \frac65 \pi a^2.$$

$\clubsuit$

-

Príklad 35. Overíme vzorec pre výpočet povrchu gule s polomerom $r$.

Riešenie: Stred gule umiestnime do začiatku súradnicovej sústavy. Guľa tak vznikne rotáciou oblasti ohraničenej polkružnicou určenou parametrickými rovnicami $x = r \cos t,\ y = r \sin t,\quad t \in \langle 0,\pi \rangle$ a osou $o_x$ okolo osi $o_x$. Použijeme vzťah (2.27).

$$S~= 2 \pi \int\limits_0^{\pi} r \sin t \sqrt{r^2 \sin^2 t ... ...}\,dt = 2 \pi r^2 \int\limits_0^{\pi} \sin t\,dt = 4 \pi r^2.$$

$\clubsuit$