Nevlastné integrály druhého druhu

Pri počítaní nevlastných integrálov druhého druhu môžeme používať premennú hranicu a výpočet limity podobne ako pri nevlastných integráloch prvého druhu ([E], [I], [K]), alebo môžeme postupovať nasledovne.

Nazvime funkciu $F$ zovšeobecnenou primitívnou k funkcii $f$ v intervale $\langle a,b \rangle$, ak $F'(x) = f(x)$ pre všetky $x \in \langle a,b \rangle$ s možnou výnimkou konečného počtu.

Nech $f$ je funkcia neohraničená v intervale $\langle a,b \rangle$.

Ak existuje spojitá zovšeobecnená primitívna funkcia $F$ v intervale $\langle a,b \rangle$, tak $\int\limits_a^b f(x)\,dx$ konverguje a 

$$\int\limits_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a).$$

Ak existuje neohraničená zovšeobecnená primitívna funkcia $F$ v intervale $(a,b)$, tak $\int\limits_a^b f(x)\,dx$ diverguje.

-

Príklad 15. Vypočítame nevlastné integrály druhého druhu

a) $\int\limits_{-1}^1 \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\,dx,\quad$ b) $\int\limits_0^{\frac{\pi}{2}} \mbox{cotg}\,x\,dx,\quad$ c) $\int\limits_{-1}^{1} \frac{dx}{x^p},\ p \in \mathcal{R}.$

Riešenie: a) Integrovaná funkcia má primitívnu funkciu (overte!) $F(x) = -\sqrt{1-x^2}$, ktorá je spojitá v intervale $\langle -1,1 \rangle$. Naviac integrovaná funkcia je nepárna, preto daný integrál existuje a rovná sa $0$.
b) Integrovaná funkcia má primitívnu funkciu (overte!) $F(x) = \ln(\sin x)$ v intervale $(0,\frac{\pi}{2})$, ktorá je v tomto intervale neohraničená (prečo?). Preto $\int_0^\frac{\pi}{2} \mbox{cotg}\,x\,dx$ diverguje.

Budeme uvažovať tri prípady vzhľadom k parametru $p$.

Pre $p < 1$ má integrovaná funkcia spojitú primitívnu funkciu $F(x) = \frac{x^{1-p}}{1-p}$ v intervale $\langle -1,1 \rangle$ a preto daný integrál konverguje a platí

$$\int\limits_{-1}^{1} \frac{dx}{x^p} = \left[ \frac{x^{1-p}}{1-p} \right]_{-1}^1 = \frac{2}{1-p}.$$

Pre $p=1$ má integrovaná funkcia zovšeobecnenú primitívnu funkciu $F(x) = \ln \vert x\vert$ , ktorá je neohraničená v intervale $(-1,1)$ a preto v tomto prípade integrál diverguje (funkcia $\ln\vert x\vert$ nie je primitívna, ale len zovšeobecnená primitívna k funkcii $\frac{1}{x}$ v intervale (-1,1), lebo funkcie nie sú definované v bode $0$).

Pre $p > 1$ má integrovaná funkcia zovšeobecnenú primitívnu funkciu $F(x) = \frac{x^{1-p}}{1-p} = \frac{1}{(1-p)x^{p-1}}$ v intervale $(-1,1)$, ktorá v tomto intervale nie je ohraničená a preto aj v tomto prípade integrál diverguje. $\clubsuit$

-

Príklad 16. Vypočítame nevlastné integrály

a) $\int\limits_{-\infty}^{\infty} \frac{dx}{x^4}\quad$ b) $\int\limits_0^{\infty} \frac{1}{x^2} \sin \frac{1}{x}\,dx.$

Riešenie: a) Integrovaná funkcia má zovšeobecnenú primitívnu funkciu $F(x) = -\frac{1}{3 x^3}$, ktorá je v okolí bodu $0$ neohraničená, preto daný integrál diverguje.
b) Substitúciou $t = \frac{1}{x}$ prevedieme daný nevlastný integrál (prvého aj druhého druhu !) na iný nevlastný integrál (len) prvého druhu

$$\int\limits_0^{\infty} \frac{1}{x^2} \sin \frac{1}{x}\,dx =... ...\cos t \right]_a^0 = 1 - \lim_{a \rightarrow -\infty} \cos a.$$

Keďže táto limita neexistuje, daný integrál diverguje. K tomuto príkladu poznamenajme, že pôvodný integrál môžeme napísať ako súčet dvoch integrálov

$$\int\limits_0^{\pi} \frac{1}{x^2} \sin \frac{1}{x}\,dx + \int\limits_{\pi}^{\infty} \frac{1}{x^2} \sin \frac{1}{x}\,dx,$$

z ktorých prvý je nevlastný druhého druhu a druhý nevlastný prvého druhu. Ktorý z nich spôsobuje divergenciu? $\clubsuit$

Nasledujúci príklad upozorňuje na nutnosť overiť si pred počítaním integrálu, či ide o integrál vlastný alebo nevlastný. -

Príklad 17. Počítame $\int\limits_{-1}^1 \frac{1}{x^2}\,dx$.

Riešenie:

$$\int\limits_{-1}^1 \frac{1}{x^2}\,dx = \left[ -\frac{1}{x} \right]_{-1}^1 = -1 - (-1) = 0.$$

Na druhej strane, v celom intervale $\langle -1,1 \rangle$ platí $0 < \frac{1}{x^2}$ a preto podľa vlastnosti (2.8) musí byť

$$\int\limits_{-1}^1 \frac{1}{x^2}\,dx > 0$$

Nesprávnosť postupu spočíva v jeho výpočte. Integrovaná funkcia je neohraničená v okolí bodu $0$ a preto sa jedná o nevlastný integrál druhého druhu. Zovšeobecnená primitívna funkcia $-\frac{1}{x}$ je neohraničená v okolí bodu $0$ a preto daný integrál diverguje. $\clubsuit$