Krivosť krivky

Pri pohybe dotykového bodu $P(t_0)$ po regulárnej krivke sa mení smer dotyčnice v tomto bode. Rýchlosť zmeny smeru dotyčnice charakterizuje stupeň zakrivenia krivky. Čím viac sa v okolí bodu dotyku krivka odkláňa od dotyčnice v tomto bode, tím má väčšiu prvú krivosť (alebo krivosť či flexiu).

Obrázok 5.3: Krivosť.

Ak je krivka $k$ definovaná vektorovou rovnicou (#1#>), potom jej krivosť v bode $P(t_0)$ vypočítame zo vzťahu

$${\mathcal K}^2(t_0)={\displaystyle \frac{\vert {\bf\dot p... ...(t_0) \vert^2}{({\bf\dot p}(t_0) \cdot {\bf\dot p}(t_0))^3}}.$$ (5.33)

Ak je krivka daná parametrickými rovnicami (#5#>), potom krivosť v bode $P(t_0)$ vypočítame zo vzťahu

$${\mathcal K}^2(t_0)={\displaystyle \frac{ \left\vert \begin{... ...right\vert ^2}{(\dot x(t_0)^2+\dot y(t_0)^2+\dot z(t_0)^2)^3}}.$$

Ak je krivka $k$ daná vektorovou rovnicou (5.22), v ktorej parametrom je oblúk $s$, potom krivosť v bode $P(s_0)$ vypočítame zo vzťahu

$${\mathcal K}(s_0) = \vert {\bf p''(s_0)} \vert$$ (5.34)

alebo

$${\mathcal K}(s_0) =\sqrt{(x''(s_0))^2+(y''(s_0))^2+(z''(s_0))^2}.$$

Polomer krivosti krivky $k$ v bode $P(t_0)$ je prevrátenou hodnotou prvej krivosti krivky $k$ v tomto bode, t.j.

$${\mathcal R}(t_0)={\displaystyle \frac{1}{{\mathcal K}(t_0)}}.$$

-

Príklad 14. Vypočítajme prvú krivosť v ľubovoľnom bode skrutkovice (5.4).

Riešenie: Norma vektorového súčinu (5.30) v čitateli vzťahu (5.33) je

$$\vert {\bf\dot p}(t_0) \times {\bf\ddot p}(t_0) \vert=\sqrt {c^2r^2 \sin^2 t +c^2r^2 \cos^2 t +r^4}=\sqrt {r^2(c^2+r^2)}$$ (5.35)

a skalárny súčin v menovateli vzťahu (5.33) je vzhľadom na (5.24) a (5.29)

$${\bf\dot p}(t_0) \cdot {\bf\dot p}(t_0)=r^2 \sin^2 t +r^2 \cos^2 t +c^2=(r^2+c^2).$$

Potom

$${\mathcal K}(t_0)^2={\displaystyle \frac{(\sqrt{r^2(c^2+r^2)})^2}{(r^2+c^2)^3}}={\displaystyle \frac{r^2}{(r^2+c^2)^2}}.$$

To znamená, že prvá krivosť

$${\mathcal K}(t_0)={\displaystyle \frac{r}{(r^2+c^2)}}$$

nezávisí od parametra $t$, a teda je konštantná pozdĺž celej skrutkovice. $\clubsuit$ Nutnou a postačujúcou podmienkou na to, aby daná regulárna krivka bola priamkou je, aby v každom bode tejto krivky bola prvá krivosť rovná nule.