Lokálne extrémy

Pri štúdiu extrémov funkcie jednej premennej sme definovali pojmy ako rastúcosť a klesajúcosť, konvexnosť a konkávnosť, atď. Väčšina z týchto pojmov nebude aktuálna pre vyšetrovanie funkcií viac premenných. Napríklad, funkcia $z=x^2-y^2$ v okolí bodu $(0,0)$ rastie pozdĺž kladnej časti osi $x$ (pre $y = 0$), a pritom zároveň klesá pozdĺž kladnej časti osi $y$ (pre $x=0$). Preto v ďalšom vystačíme s pojmami lokálneho maxima a minima, ktoré vysvetlíme najprv v prípade funkcií dvoch premenných.

Definícia lokálnych extrémov. Nech $f=f(x,y)$ je funkcia dvoch premenných s definičným oborom $D$. Hovoríme, že funkcia $f$ má v bode $(x_0,y_0)\in D$ lokálne maximum [lokálne minimum], ak existuje také $\delta$-okolie $O_{\delta}(x_0,y_0)$ bodu $(x_0,y_0)$, že $f(x,y)\le f(x_0,y_0)$ [respektíve, $f(x,y)\ge f(x_0,y_0)$] pre každý bod $(x,y)\in O_{\delta}(x_0,y_0)\cap D$. Lokálne minimá a maximá nazývame súhrnne lokálnymi extrémami funkcie $f$.

V ďalšom budeme predpokladať, že funkcia $f=f(x,y)$ má na nejakej oblasti $M$ spojité parciálne derivácie. Potom v každom bode $(x_0,y_0)\in M$ ku ploche $z=f(x,y)$ existuje jednoznačne určená dotyková rovina, ktorá má podľa (4.3) rovnicu

$$z=f(x_0,y_0)+f_x(x_0,y_0)(x-x_0)+f_y(x_0,y_0)(y-y_0)\ .$$

Intuitívne, ak funkcia $f$ má v bode $(x_0,y_0)$ lokálny extrém, tak dotyková rovina v tomto bode bude rovnobežná so súradnicovou rovinou $xy$, a teda koeficienty $f_x(x_0,y_0)$ a $f_y(x_0,y_0)$ v predchádzajúcej rovnici musia byť rovné nule. To vedie k nasledujúcej definícii.

Definícia stacionárneho bodu. Nech funkcia $f=f(x,y)$ má parciálne derivácie na oblasti $M$. Bod $(x_0,y_0)\in M$ nazývame stacionárnym bodom funkcie $f$, ak platí:

$$f_x(x_0,y_0)=f_y(x_0,y_0)=0\ .$$

Stacionárne body sú teda "kandidátmi"na existenciu lokálneho extrému. Vo všeobecnosti nie je pravda, že v stacionárnom bode je vždy nejaký lokálny extrém. Napríklad pre funkciu $f(x,y)=x^2-y^2$ je bod $(0,0)$ stacionárnym bodom, ale z faktov uvedených v prvom odstavci tejto časti vidieť, že táto funkcia nemá v bode $(0,0)$ lokálny extrém. Vzniknutú situáciu zachytáva naša ďalšia definícia.

Definícia sedlového bodu. Nech $D$ je definičný obor funkcie $f=f(x,y)$. Bod $(x_0,y_0)\in D$ nazývame sedlovým bodom funkcie $f$, ak v každom $\delta$-okolí $O_{\delta}(x_0,y_0)$ existujú body $(x_{\delta},y_{\delta})\in D$ a $(x'_{\delta},y'_{\delta})\in D$ rôzne od $(x_0,y_0)$ také, že

$$f(x_{\delta},y_{\delta}) > f(x_0,y_0)\ \ a\ \ \ f(x'_{\delta},y'_{\delta}) < f(x_0,y_0)\ .$$

Na identifikáciu situácie v stacionárnych bodoch používame nasledujúcu matematickú metódu takzvaného D-testu. Ide o nie zložitý algoritmus, ktorý je však na tomto mieste ťažké motivovať a nahliadnuť jednoduchým spôsobom.

D-test pre lokálne extrémy funkcie 2 premenných. Nech bod $B=(x_0,y_0)$ je stacionárnym bodom funkcie $f=f(x,y)$ a nech $f$ má v nejakom okolí bodu $B$ spojité druhé parciálne derivácie $f_{xx}$, $f_{yy}$ a $f_{xy}$. Nech

$$D=f_{xx}(B)\cdot f_{yy}(B)-(f_{xy}(B))^2\ .$$ (4.14)

Potom platí:

(1) Ak $D>0$ a $f_{xx}(B)<0$, tak funkcia $f$ má v bode $B$ lokálne maximum.

(2) Ak $D>0$ a $f_{xx}(B)>0$, tak funkcia $f$ má v bode $B$ lokálne minimum.

(3) Ak $D<0$, tak $B$ je sedlovým bodom funkcie $f$.

(4) Ak $D=0$, tak touto metódou nevieme rozhodnúť, ako sa funkcia $f$ správa v stacionárnom bode $B$.

-

Príklad 1. Nájdite lokálne extrémy funkcie $f(x,y)=x^2+y^3-6xy$.

Riešenie: Daná funkcia je definovaná v každom bode roviny ${\cal R}^2$ a má tam aj spojité parciálne derivácie (ľubovoľného rádu). Určíme najprv stacionárne body. Pre parciálne derivácie prvého rádu dostávame:

$$f_x=2x-6y\ ;\ \ \ f_y=3y^2-6x\ .$$

Stacionárne body sú určené rovnicami $f_x=f_y=0$, teda:

$$2x-6y=0\ \ ,\ \ \ \ 3y^2-6x=0\ .$$

Z prvej rovnice máme $x=3y$, čo po dosadení do druhej rovnice a úprave dáva $y(y-6)=0$. Máme teda dve riešenia: $y_1=0$ a $y_2=6$, čomu zodpovedá $x_1=0$ a $x_2=18$. Tak sme získali dva stacionárne body: $B_1=(0,0)$ a $B_2=(18,6)$.

Pre každý z týchto dvoch stacionárnych bodov by sme teraz mali vypočítať hodnotu výrazu $D$ z (4.14). Urobíme to v obrátenom poradí: Najprv vypočítame výraz $D$ vo všeobecnosti a potom doň za $x$ a $y$ dosadíme súradnice stacionárnych bodov. Keďže $D=f_{xx}f_{yy}-f_{xy}^2$, začneme s parciálnymi deriváciami druhého rádu:

$$f_{xx}=2\ ,\ \ \ f_{yy}=6y\ ,\ \ \ f_{xy}=-6\ .$$

Pre náš výraz $D$ vychádza:

$$D=f_{xx}f_{yy}-f_{xy}^2=2\cdot 6y-(-6)^2=12(y-3)\ .$$

A teraz pristúpime k aplikácii D-testu na jednotlivé stacionárne body.

Bod $B_1=(0,0)$: Hodnota premennej $D$ v bode $(0,0)$ je $D=12\cdot(-3)$, a teda $D<0$. Z časti (3) formulácie D-testu vidieť, že $B_1$ je sedlovým bodom našej funkcie.

Bod $B_2=(18,6)$: Hodnota výrazu pre $D$ v bode $B_2$ je $D=12.(6-3)$, čiže tentoraz $D>0$. Z D-testu ihneď vyplýva, že naša funkcia určite má v bode $B_2$ lokálny extrém. O tom, či ide o maximum alebo minimum, rozhodne znamienko hodnoty derivácie $f_{xx}$ v bode $B_2$. Keďže $f_{xx}=2$, a teda $f_{xx}>0$, nadobúda funkcia $f$ v bode $B_2$ lokálne minimum. Hodnota tohoto lokálneho minima je $f(B_2)=f(18,6)=18^2+6^3-6\cdot 18\cdot 6 =-108$. $\clubsuit$

Definíciu lokálnych extrémov si čitateľ ľahko modifikuje pre prípad funkcií viac premenných. Podobne je to aj s definíciou stacionárneho bodu: Napríklad ak máme funkciu troch premenných $f=f(x,y,z)$ definovanú na nejakej oblasti $M$, kde $f$ má parciálne derivácie prvého rádu, tak stacionárny bod je taký bod $(x_0,y_0,z_0)\in M$, v ktorom všetky parciálne derivácie prvého rádu sú nulové, teda:

$$f_x(x_0,y_0,z_0)=0\ ,\ \ \ f_y(x_0,y_0,z_0)=0\ ,\ \ \ f_z(x_0,y_0,z_0)=0\ .$$

Aj v tomto prípade platí, že ak funkcia $f$ má v bode $(x_0,y_0,z_0)$ extrém, tak bod $(x_0,y_0,z_0)$ je stacionárnym bodom; opačná implikácia neplatí. Zovšeobecnenie D-testu pre funkcie 3 a viac premenných je však pomerne komplikované a nebudeme ho tu uvádzať.