Základné pojmy

Nech ${\cal R}^2$ označuje množinu všetkých usporiadaných dvojíc reálnych čísiel. Intuitívne, pod funkciou dvoch premenných rozumieme priradenie $f$, ktoré každej dvojici reálnych čísiel $(x,y)$ z istej podmnožiny $M\subset {\cal R}^2$ priradí reálne číslo $f(x,y)$. Najväčšia (vzhľadom na inklúziu) podmnožina $D\subset {\cal R}^2$, pre ktorú je priradenie $(x,y)\mapsto f(x,y)$ korektne matematicky definované, sa nazýva obor definície funkcie $f$.^4.1V prípade funkcií dvoch premenných je prirodzené znázorňovať obory definície v rovine, a to v pravouhlej súradnicovej sústave s osami $o_x$, $o_y$.

-

Príklad 1. Nájdite a znázornite definičný obor funkcie

$$f(x,y)=\frac{x\ln{y}}{\sqrt{4-x^2-y^2}}\ .$$

Riešenie: Uvedený výraz má zmysel len pre tie dvojice $(x,y)$, pre ktoré je $y>0$ (pretože funkcia $\ln$ je definovaná len pre kladné čísla) a $4-x^2-y^2>0$ (pretože druhá odmocnina je definovaná len pre nezáporné čísla a navyše sa vyskytuje v menovateli). Definičný obor funkcie $f$ je teda množina

$$D=\{(x,y);\ x^2+y^2 < 4,\ y>0\}\ .$$

V rovine $xy$ množine $D$ zodpovedá vnútrajšok polkruhu nad osou $x$ so stredom v počiatku a s polomerom 2; pozri Obr. 1. $\clubsuit$

Obrázok 4.1: D(f)

-

Príklad 2. Nájdite obor definície funkcie $g(x,y)=xy-\sqrt{x^4-16y^4}$ a ukážte, že pre každé reálne číslo $t$ platí identita $g(tx,ty)=t^2g(x,y)$.

Riešenie: Daná funkcia je definovaná pre všetky dvojice $(x,y)$ také, že $x^4\ge 16y^4$ (pretože druhá odmocnina je definovaná len pre nezáporné čísla). Uvedená nerovnosť je po dvojnásobnom odmocnení ekvivalentná s nerovnosťou $\vert x\vert\ge 2\vert y\vert$, a preto definičný obor $D$ funkcie $g$ je

$$D=\{(x,y);\ \vert x\vert\ge 2\vert y\vert\}\ .$$

V rovine $xy$ je táto množina znázornená dvoma "výsekmi" ohraničenými priamkami $y=x/2$ a $y=-x/2$ tak, ako to vidíme na Obr. 2.

Pre dôkaz uvedenej identity stačí do vzorčeka pre $g(x,y)$ dosadiť $tx$ namiesto $x$, $ty$ namiesto $y$, a počítať:

$$g(tx,ty)=(tx)(ty)-\sqrt{(tx)^4-16(ty)^4}= t^2(xy-\sqrt{x^4-16y^4})=t^2g(x,y)\ .$$

$\clubsuit$

Obrázok 4.2: D(g)

Množina bodov $(x,y)$ v rovine, v ktorých má funkcia $f(x,y)$ konštantnú hodnotu $f(x,y)=c$ pre niektoré reálne číslo $c$, tvorí krivku nazývanú vrstevnica funkcie $f$ prislúchajúca výške $c$.

-

Príklad 3. V rovine $xy$ znázornime vrstevnice funkcie $h(x,y)=4-4x^2-y^2$ prislúchajúce výškam 1, 2, a 3.

Riešenie: Pre ľubovoľné $c$ je vrstevnica funkcie $h$ určená rovnicou $4-4x^2-y^2=c$, čiže $4x^2+y^2=4-c$. Z tohoto vidieť, že netriviálne riešenie dostávame len v prípade, keď $c<4$ (prečo?). Vydelením poslednej rovnice kladným číslom $4-c$ dostávame

$$\frac{4}{4-c}x^2+\frac{1}{4-c}y^2=1\ ,$$

a toto je rovnica elipsy so stredom v bode $[0,0]$ a s poloosami $a=\frac{1}{2}\sqrt{4-c}$, $b=\sqrt{4-c}$. Hľadané vrstevnice sú teda elipsy; postupným dosadením hodnôt $c=1,2,3$ pre ich poloosi máme:

$${\rm {pre}}\ c=1:\ \ \ a_1=\frac{1}{2}\sqrt{3},\ \ b_1=\sqrt{3}\ ,$$

$${\rm {pre}}\ c=2:\ \ \ a_2=\frac{1}{2}\sqrt{2},\ \ b_2=\sqrt{2}\ ,$$

$${\rm {pre}}\ c=3:\ \ \ a_3=\frac{1}{2},\ \ b_3=1\ ;$$

Pre znázornenie týchto vrstevníc pozri Obr. 3. $\clubsuit$

Obrázok 4.3: Vrstevnice

Podobné úlohy sa vyskytujú aj pre funkcie troch premenných $f(x,y,z)$, resp. všeobecnejšie pre funkcie $n$ premenných $f(x_1,x_2,\ldots,x_n)$. Definičné obory funkcií troch premenných je už ťažšie znázorniť; robíme to pomocou projekcie trojrozmerného priestoru so súradnicami $x,y,z$ do roviny. Pre dané $c$ množina bodov $(x,y,z)$ spĺňajúca rovnosť $f(x,y,z)=c$ tentoraz bude (až na degenerované prípady) plocha v priestore, ktorú nazývame vrstvovou plochou prislúchajúcou konštante $c$. Pri funkciách $n\ge 4$ premenných definičné obory neznázorňujeme a o príslušných "viacrozmerných vrstvových plochách" nebudeme v týchto skriptách hovoriť.

-

Príklad 4. Určte obor definície funkcie $k(x,y,z)= \ln{(9-x^2-y^2-z^2)}$ a opíšte vrstvovú plochu zodpovedajúcu konštante $c=\ln{5}$.

Riešenie: Keďže prirodzený logaritmus je definovaný len pre kladné čísla, daná funkcia je definovaná len pre tie trojice reálnych čísiel $(x,y,z)$, pre ktoré je $9-x^2-y^2-z^2>0$. Definičný obor $D$ funkcie $k(x,y,z)$ je teda množina

$$D=\{(x,y,z);\ x^2+y^2+z^2<9\}\ .$$

V trojrozmernom priestore množine $D$ zodpovedá vnútrajšok gule so stredom v počiatku a polomerom $\sqrt{9}=3$. Vrstvová plocha prislúchajúca konštante $c=\ln{5}$ má rovnicu $k(x,y,z)=c$, teda $\ln{(9-x^2-y^2-z^2)}=\ln{5}$, odkiaľ po úprave máme $9-x^2-y^2-z^2=5$ a napokon $x^2+y^2+z^2=4$, čo je sféra (guľová plocha) so stredom v počiatku a polomerom 2. $\clubsuit$

Na ukážku uvádzame časti grafov (t.j. plôch) určených rovnicou $z=f(x,y)$ pre niektoré funkcie $f$ (pozri obrázky 4.4 až 4.9); na generovanie obrázkov bol použitý program Mathematica.

Obrázok 4.4: $z=4x^2+y^2$

Obrázok 4.5: $z=xy$

Obrázok 4.6: $z= e^{-(x^2+y^2)}$

Obrázok: $z=\cos(\sqrt{x^2+y^2})$

Obrázok: $z=e^{-(x^2+y^2)}\cos(\sqrt{x^2+y^2})$

Obrázok: $z=e^{-y}\sin{x}$