Limita funkcie dvoch a viac premenných

Pojem limity funkcie dvoch premenných je omnoho komplikovanejší v porovnaní s pojmom limity funkcie jednej premennej. Intuitívne, ak hodnoty funkcie $f(x,y)$ ležia "dostatočne blízko" čísla $L$ pre všetky body $(x,y)$ "blízke" ale nie rovné bodu $(x_0,y_0)$, tak hovoríme, že $L$ je limitou funkcie $f$ v bode $(x_0,y_0)$. Pre matematicky presnú definíciu potrebujeme zaviesť dva pojmy. Pripomeňme najprv, že pri funkciách jednej premennej sme pod (jednorozmerným) okolím bodu $b$ (pričom $b$ je buď reálne číslo alebo jeden zo symbolov $+\infty$, $-\infty$) rozumeli ľubovoľný otvorený interval obsahujúci $b$, resp. ľubovoľný interval tvaru $(a,+\infty)$ alebo $(-\infty,a)$ ak $b=\pm\infty$. V dvojrozmernom prípade, ak hovoríme o bode $(x_0,y_0)$, máme vždy na mysli, že obe súradnice $x_0$ a $y_0$ sú reálne čísla. A teraz k ohláseným novým pojmom: Pre ľubovoľné číslo $\delta>0$ pod $\delta$-okolím bodu $(x_0,y_0)$ rozumieme množinu

$$O_{\delta}(x_0,y_0)=\{(x,y);\ (x-x_0)^2+(y-y_0)^2<\delta^2\} \ .$$

Inak povedané, $\delta$-okolie $O_{\delta}(x_0,y_0)$ je vnútrajšok kruhu so stredom v bode $(x_0,y_0)$ a polomerom $\delta$. Ďalej, bod $(x_0,y_0)$ nazveme hromadným bodom nejakej množiny $M$, ak každé $\delta$-okolie bodu $(x_0,y_0)$ obsahuje aspoň jeden bod množiny $M$ rôzny od $(x_0,y_0)$.

Definícia limity funkcie dvoch premenných. Nech $D$ je obor definície funkcie $f(x,y)$ a nech bod $(x_0,y_0)$ je hromadným bodom množiny $D$. Hovoríme, že funkcia $f(x,y)$ má v bode $(x_0,y_0)$ limitu rovnú bodu $L$, čo symbolicky zapisujeme v tvare

$$\lim_{(x,y)\to (x_0,y_0)}f(x,y)=L\ ,$$

ak ku každému (jednorozmernému) okoliu $O(L)$ bodu $L$ existuje nejaké $\delta$-okolie $O_{\delta}(x_0,y_0)$ bodu $(x_0,y_0)$ tak, že pre každý bod $(x,y)\in O_{\delta}(x_0,y_0)\cap D$ rôzny od $(x_0,y_0)$ platí, že $f(x,y)\in O(L)$.

Definícia pojmu spojitosti. Nech $f(x,y)$ je funkcia dvoch premenných s oborom definície $D$ a nech bod $(x_0,y_0)\in D$ je hromadným bodom množiny $D$. Hovoríme, že funkcia $f(x,y)$ je spojitá v bode $(x_0,y_0)$, ak

$$\lim_{(x,y)\to (x_0,y_0)}f(x,y)=f(x_0,y_0)\ ,$$

t.j. ak limitu možno vypočítať jednoduchým dosadením. Ak $f(x,y)$ je spojitá v každom bode nejakej podmnožiny $M\subset D$, tak hovoríme, že funkcia $f(x,y)$ je spojitá na množine $M$.

Pri výpočte limít funkcií dvoch premenných používame pravidlá, ktoré už poznáme z jednorozmerného prípadu. Ak

$$\lim_{(x,y)\to (x_0,y_0)}f(x,y)=L_1\ \ \ {\rm a}\ \ \lim_{(x,y)\to (x_0,y_0)}g(x,y)=L_2\ ,$$

tak (za predpokladu, že výrazy na pravých stranách sú prípustné) platí:

$$\lim_{(x,y)\to (x_0,y_0)}c.f(x,y)=c.L_1\ ,$$

$$\lim_{(x,y)\to (x_0,y_0)}(f(x,y)\pm g(x,y))=L_1\pm L_2\ ,$$

$$\lim_{(x,y)\to (x_0,y_0)}f(x,y).g(x,y)=L_1.L_2\ ,$$

$$\lim_{(x,y)\to (x_0,y_0)}\frac{f(x,y)}{g(x,y)}=\frac{L_1}{L_2}\ .$$

Často je pri výpočtoch potrebné používať algebraické triky, s ktorými ste sa už stretli pri funkciách jednej premennej. Vo finálnej fáze výpočtu sa obvykle opierame o nasledujúce princíp (taktiež známy z jednorozmerného prípadu):

Každá elementárna funkcia dvoch premenných (t.j. funkcia vytvorená z konečného počtu polynómov, goniometrických, exponenciálnych funkcií a k nim inverzných funkcií použitím algebraických operácií a operácie skladania funkcií) je automaticky spojitá v každom hromadnom bode svojho definičného oboru.

-

Príklad 1. Vypočítajme hodnotu limity

$$\lim_{(x,y)\to (4,-1)} \frac{2x-y-9}{\sqrt{2x-y}-3}\ .$$

Riešenie: Hoci funkcia za znakom limity nie je v bode $(4,-1)$ definovaná, tento bod je hromadným bodom jej definičného oboru (prečo?). Pri výpočte si pomôžeme rozšírením čitateľa aj menovateľa výrazom $(\sqrt{2x-y}+3)$, a po úprave napokon dostaneme limitu z elementárnej funkcie, ktorú podľa vyššie uvedeného princípu vypočítame jednoducho dosadením:

$$\lim_{(x,y)\to (4,-1)} \frac{2x-y-9}{\sqrt{2x-y}-3}= \lim_{(x... ...frac{(2x-y-9)(\sqrt{2x-y}+3)} {(\sqrt{2x-y}-3)(\sqrt{2x-y}+3)}=$$

$$= \lim_{(x,y)\to (4,-1)} \frac{(2x-y-9)(\sqrt{2x-y}+3)} {2x-y-9}=\lim_{(x,y)\to (4,-1)} (\sqrt{2x-y}+3)=6\ .$$

$\clubsuit$

Komplikovanosť pojmu limity funkcie dvoch premenných tkvie aj v tom, že k bodu $(x_0,y_0)$ je možné "približovať sa" bodmi $(x,y)$ po rôznych krivkách (na rozdiel od jednorozmerných limít, kde sme sa k danému bodu mohli blížiť len zľava alebo sprava). Toto pozorovanie sa v kombinácii s definíciou limity často využíva na dôkaz neexistencie limity funkcie $f(x,y)$ v bode $(x_0,y_0)$.

Postačujúca podmienka neexistencie limity. Ak sa nám podarí nájsť dve krivky $y=r(x)$ a $y=s(x)$ tak, že $\lim_{x\to x_0} r(x)=\lim_{x\to x_0}s(x)=y_0$ (t.j. obe krivky sa "blížia" k bodu $(x_0,y_0)$), a pritom hodnoty jednorozmerných limít $\lim_{x\to x_0}f(x,r(x))$ a $\lim_{x\to x_0}f(x,s(x))$ nie sú totožné (čiže funkčné hodnoty $f(x,y)$ sa pozdĺž kriviek $y=r(x)$ a $y=s(x)$ "blížia" k rôznym bodom), tak potom funkcia $f(x,y)$ nemá v bode $(x_0,y_0)$ limitu.

-

Príklad 2. Ukážme, že neexistuje limita

$$\lim_{(x,y)\to (0,0)}\arctan\frac{y}{x}\ .$$

Riešenie: Pokúsme sa "realizovať približovanie" ku bodu $(0,0)$ po dvoch polpriamkach $y=k_1x$ a $y=k_2x$, kde $k_1\ne k_2$ a $x > 0$. Ak $x\to 0$ po prvej polpriamke, tak dosadením $y=k_1x$ do pôvodnej limity dostaneme:

$$\lim_{x\to 0}\arctan\frac{k_1x}{x}=\lim_{x\to 0}\arctan{k_1}= \arctan{k_1}\ .$$

Podobne pre "pohyb" po druhej polpriamke $y=k_2x$ k bodu $(0,0)$ máme:

$$\lim_{x\to 0}\arctan\frac{k_2x}{x}=\lim_{x\to 0}\arctan{k_2}= \arctan{k_2}\ .$$

Keďže $\arctan$ je funkcia rastúca a teda prostá, pre $k_1\ne k_2$ je $\arctan{k_1}\ne \arctan{k_2}$. Našli sme teda dve krivky (v našom prípade polpriamky), pozdĺž ktorých sa hodnoty funkcie $\arctan\frac{y}{x}$ "blížia" k rôznym číslam, a preto daná limita neexistuje. $\clubsuit$

-

Príklad 3. Presvedčme sa, že neexistuje limita

$$\lim_{(x,y)\to (0,0)}\frac{x^4}{x^4+y^2}\ .$$

Riešenie: Vzhľadom na tvar našej funkcie tentoraz za krivky "približovania sa" k bodu $(0,0)$ zvolíme dve paraboly, $y=k_1x^2$ a $y=k_2x^2$, pričom, povedzme, $k_1>k_2>0$. Ak sa teraz bod $(x,y)$ "blíži" k $(0,0)$ po prvej parabole, dostávame z pôvodnej limity dosadením $y=k_1x^2$ a úpravou hodnotu

$$\lim_{x\to 0}\frac{x^4}{x^4+(k_1x^2)^2}= \lim_{x\to 0}\frac{1}{1+k_1^2}=\frac{1}{1+k_1^2}\ .$$

Analogicky, výpočet pre druhú parabolu dáva:

$$\lim_{x\to 0}\frac{x^4}{x^4+(k_2x^2)^2}= \lim_{x\to 0}\frac{1}{1+k_2^2}=\frac{1}{1+k_2^2}\ .$$

Keďže sme získali dve rôzne hodnoty limít pozdĺž dvoch rôznych kriviek, pôvodná limita neexistuje. $\clubsuit$

Pojem limity a spojitosti funkcií troch a viac premenných je možné zaviesť obdobne, a pravidlá zaobchádzania s limitami sú analogické pravidlám pre funkcie dvoch premenných.