Kružnica krivosti rovinnej krivky

Na vystihnutie zakrivenia krivky v bode $P(t)$ je výhodné použiť kružnicu krivosti (oskulačnú kružnicu), ktorá

1. má s krivkou jeden spoločný bod a v ňom tú istú dotyčnicu,
2. jej polomer sa rovná polomeru krivosti krivky $k$ v bode $P(t)$,
3. jej stred $S$ leží na normále krivky $k$ v bode $P(t)$.

Ak je krivka daná parametricky (5.43), platí

$$r={\displaystyle \frac{(\dot x^2+\dot y^2)^{3/2}}{\vert \dot x \ddot y-\ddot x \dot y \vert }},$$

$$x_s={x-\dot y \displaystyle \frac{\dot x^2+\dot y^2}{\dot x \ddot y-\ddot x \dot y}},$$

$$y_s={y+\dot x \displaystyle \frac{\dot x^2+\dot y^2}{\dot x \ddot y-\ddot x \dot y}}$$

a ak je krivka daná explicitne (5.44), platí

$$r={\displaystyle \frac{(1+\dot y^2)^{3/2}}{\vert \ddot y \vert}},$$

$$x_s=x-\dot y{\displaystyle \frac{1+\dot y^2}{\vert \ddot y \vert}},$$ (5.52)

$$y_s=y+{\displaystyle \frac{1+\dot y^2}{\vert \ddot y \vert}}.$$ (5.53)

-

Príklad 25. Nájdime kružnice krivosti paraboly $y = x^2$ v bodoch $P(0), P(1)$.

Riešenie: Polomer $r$ kružnice krivosti je prevrátená hodnota krivosti, preto vzhľadom na výsledky príkladu 22

$$r(0)=0,5 \qquad r(1) =5,59.$$

Súradnice $x_s, y_s$ stredu kružnice krivosti vypočítame zo vzťahov (5.52) a (5.53), v ktorých potrebujeme derivácie (5.51). Zrejme $x_s(0)=0, y_s(0)=0,5$ a

$$x_s(1)=1-2 \frac{1+2^2}{2}=-4,$$

$$y_s(1)=1+2 \frac{1+2^2}{2}=3,5.$$

Hľadané kružnice krivosti sú

$$x^2+(y-0,5)^2=0,25,$$

$$(x+4)^2+(x-3,5)^2=31,25.$$

$\clubsuit$