Rovnice rovinnej krivky

Ak zvolíme $z(t)=0$, vektorová rovnica rovinnej krivky bude

$${\bf p}={\bf p}(t)=[x(t), y(t)]=x(t){\bf i}+y(t){\bf j}, \qquad t \in J.$$ (5.42)

Rovinnú krivku môžeme zapísať parametrickými rovnicami

$$x=x(t), \qquad y=y(t), \qquad t \in J,$$ (5.43)

explicitne

$$y=f(x), \qquad x \in J$$ (5.44)

alebo implicitne

$$h(x,y)=0,$$ (5.45)

ak je funkcia $h$ definovaná a spojitá na dvojrozmernej oblasti $\Omega \in E^2$. Špeciálnym prípadom rovinnej krivky je graf spojitej nekonštantnej reálnej funkcie $f(x)$. -

Príklad 17. Napíšme parametrické vyjadrenie Descartesovho listu $x^3+y^3=3xy$ tak, že položíme $y=tx$.

Riešenie: Po dosadení predpokladaného $y$ do rovnice krivky vyjadríme $x$ ako funkciu parametra $t$. Z rovnice

$$x^3+t^3x^3=3tx^2$$

dostaneme po úprave rovnicu

$$x^2[x(1+t^3)-3t]=0,$$

odkiaľ buď $x=0$ a teda aj $y = 0$ alebo

$$x={\displaystyle \frac{3t}{1+t^3}}$$

a potom

$$y={\displaystyle \frac{3t^2}{1+t^3}}.$$

$\clubsuit$ -

Príklad 18. Vektorovou rovnicou

$${\bf p}(t)=[a \cos t, b \sin t],$$ (5.46)

kde $t \in \langle 0,2\pi )$, $a>0$, $b>0$ je vyjadrená elipsa. Rozpísaním vektorovej rovnice (5.46) dostaneme dve parametrické rovnice elipsy v tvare

$$x=a \cos t, \qquad y=b \sin t.$$ (5.47)

Vylúčením parametra $t$ z parametrických rovníc (5.47) (tak, že obe strany prvej, resp. druhej rovnice vynásobíme b, resp. a, obe strany oboch rovníc umocníme a rovnice spočítame), dostávame implicitnú rovnicu elipsy v tvare

$${\displaystyle \frac{x^2}{a^2}}+{\displaystyle \frac{y^2}{b^2}}-1=0.$$

Z tejto rovnice vypočítame premennú $y$ a získame explicitné rovnice elipsy

$$y=\sqrt {b^2-\displaystyle \frac{b^2}{a^2}x^2},$$

respektíve

$$y=-\sqrt {b^2-\displaystyle \frac{b^2}{a^2}x^2}.$$

$\clubsuit$ Rovinné krivky je možné vyjadriť aj pomocou polárnych súradníc $\varphi$ a $\varrho$ v tvare

$$F(\varphi,\varrho)=0$$

alebo

$$\varrho=f(\varphi).$$ (5.48)

Obrázok 5.4: Polárne súradnice.

Transformačné rovnice, s pomocou ktorých sa dajú previesť pravouhlé súradnice $(O,x,y)$ na polárne súradnice $(O,\varphi,\varrho)$ a opačne sú

$x=\varrho \cos \varphi,$	$y=\varrho \sin \varphi,$
$\varphi=\mbox{arctg}\,{\displaystyle \frac{y}{x}},$	$\varrho=+\sqrt{x^2+y^2},$	$(0 \le \varphi < 2 \pi)$.

-

Príklad 19. V polárnych súradniciach sú vyjadrené mnohé rovinné krivky, väčšinou užitočné z hľadiska technických aplikácií. Hyperbolická špirála: $\varrho=c/\varphi, \; c>0, \; \varphi >0.$ Archimedova špirála: $\varrho=a \varphi, \; a>0.$ Logaritmická špirála: $\varrho=k \; e^{a \varphi}, \; k \ne 0, \; a>0.$ Kardioida: $\varrho=2a(1+\cos \varphi), \; a>0.$ $\clubsuit$