Krivosť rovinnej krivky

Z úvodných poznámok o rovinnej krivke je zrejmé, že v tomto prí pade má zmysel hovoriť len o prvej krivosti (krátko krivosti) krivky $k$ v bode $P(t_0)$. Túto dôležitú charakteristiku krivky vyjadrenej rovnicami (5.42-5.44) a (5.48) vypočítame zo vzťahov

$${\mathcal K}^2={\displaystyle \frac{\vert {\bf\dot p} \times \ddot {\bf p} \vert^2}{({\bf\dot p}.{\bf\dot p})^3}}$$

$${\mathcal K}^2={\displaystyle \frac{(\dot x \ddot y-\ddot x \dot y) ^2}{(\dot x^2+\dot y^2)^3}}$$

$${\mathcal K}^2={\displaystyle \frac{(\ddot y)^2}{(1+\dot y^2)^3}}$$

$${\mathcal K}^2={\displaystyle \frac{(\varrho^2+2\varrho '^2-\varrho \varrho '') ^2}{(\varrho^2+\varrho '^2)^3}}$$

-

Príklad 23. Nájdime krivosť paraboly $y = x^2$ vo všeobecnom bode a v bodoch $P(0), P(1), P(2)$.

Riešenie: Krivka je daná explicitne, využijeme teda tretí z uvedených vzorcov. K výpočtu potrebujeme prvú a druhú deriváciu podľa $x$

$$\dot y=2x, \qquad \ddot y=2.$$ (5.51)

Potom krivosť paraboly $y = x^2$ vo všeobecnom bode je

$${\mathcal K}^2(x)={\displaystyle \frac{2^2}{(1+(2x)^2)^3}=\frac{4}{(1+4x^2)^3}},$$

t.j.

$${\mathcal K}(x)={\displaystyle \frac{2}{\sqrt {(1+4x^2)^3}}}$$

a v konkrétnych bodoch

$${\mathcal K}(0)=2,$$

$${\mathcal K}(1)=2/\sqrt{5^3}=0,17888,$$

$${\mathcal K}(2)=2/\sqrt{17^3}=0,02853.$$

$\clubsuit$ -

Príklad 24. Nájdime krivosť kružnice s polomerom $r$ v jej ľubovoľnom bode.

Riešenie: Parametrické rovnice kružnice sú

$$x=r \cos t, \qquad y=r \sin t, \qquad t \in \langle 0,2\pi).$$

Pretože

$\dot x=-r \sin t,$	$\dot y=r \cos t,$
$\ddot x=-r \cos t,$	$\ddot y=-r \sin t,$

podľa druhého z uvedených vzorcov

$${\mathcal K}^2(t)={\displaystyle \frac{(r^2 \sin^2 t + r^2 \cos^2 t) ^2}{(r^2 \sin^2 t + r^2 \cos^2 t)^3}=\frac{1}{r^2}},$$

to znamená, že

$${\mathcal K}(t)={\displaystyle \frac{1}{r}}.$$

Krivosť kružnice je v každom jej bode rovnaká a je rovná prevrátenej hodnote jej polomeru. $\clubsuit$