Dotyčnica a normála rovinnej krivky

Pojem dotyčnice a normály ku grafu funkcie $y = f(x)$ v bode $[x_0,f(x_0)]$ je čitateľovi známy zo štúdia diferenciálneho počtu (kapitola 7.4.1., Riešené úlohy z matematiky I.). V každom bode $P(t_0) = [x(t_0),y(t_0)] = [x_0,y_0] = [x_0,f(x_0)]$ regulárnej rovinnej krivky existuje práve jedna dotyčnica. Dotyčnica v bode $P(t_0)$ krivky danej rovnicami (5.42-5.45) je definovaná postupne rovnicami

$${\bf d}={\bf p}(t_0)+ \lambda {\bf\dot p}(t_0),$$

$$x=x(t_0)+\lambda \dot x(t_0), \qquad y=y(t_0)+\lambda \dot y(t_0),$$

$$y=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0),$$

$$(x-x_0)h'_x(P[x_0,y_0])+(y-y_0)h'_y(P[x_0,y_0])=0.$$ (5.49)

Priamku, ktorá prechádza bodom $P(t_0)$ a je kolmá na dotyčnicu, nazývame normálou. Vzhľadom na existenciu jedinej normály rovinnej krivky nehovoríme o hlavnej normále, ale krátko o normále. Normála v bode $P(t_0)$ krivky danej rovnicami (5.42-5.45) je definovaná postupne rovnicami

$$({\bf n}-{\bf p(t_0)}) \cdot {\bf\dot p(t_0)}=0,$$

$$x=x(t_0)-\lambda \dot y(t_0), \qquad y=y(t_0)+\lambda \dot x(t_0),$$

$$y=f(x_0)-\frac{1}{f'(x_0)}(x-x_0),$$

$$(x-x_0)h'_y(P[x_0,y_0])-(y-y_0)h'_x(P[x_0,y_0])=0.$$ (5.50)

-

Príklad 22. Nájdime rovnice dotyčnice a normály ku elipse $x^2/a^2+y^2/b^2-1=0$ vo všeobecnom bode $[x_0,y_0]$a v bode $[1,0]$ ak $a=1$, $b=2$.

Riešenie: Elipsa je daná implicitne, preto na výpočet dotyčnice a normály použijeme vzorce (5.49) a (5.50). Potrebujeme derivácie rovnice elipsy podľa $x$ a $y$

$$h'_x=\displaystyle \frac{2x}{a^2},$$

$$h'_y=\displaystyle \frac{2y}{b^2}.$$

Potom rovnica dotyčnice vo všeobecnom bode elipsy je

$$(x-x_0)\displaystyle \frac{2x}{a^2}+(y-y_0)\displaystyle \frac{2y}{b^2}=0$$

a rovnica normály vo všeobecnom bode elipsy je

$$(x-x_0)\displaystyle \frac{2y}{b^2}-(y-y_0)\displaystyle \frac{2x}{a^2}=0.$$

Dotyčnica a normála v bode $[1,0]$ elipsy $x^2+y^2/4-1=0$ majú rovnice

$$2(x-1)+0(y-0)=0, \qquad 0(x-1)-2(y-0)=0$$

a po úprave

$$x-1=0, \qquad y=0.$$

$\clubsuit$ V prípade rovinnej krivky nemá zmysel zavádzať ďalšie pojmy známe z theórie priestorových kriviek pod spoločným názvom sprievodný trojhran. Poznamenajme len, že rovina, v ktorej krivka leží, je totožná s oskulačnou rovinou.