Prirodzené rovnice krivky

Nech sú dané dve spojité funcie

$${\mathcal K}={\mathcal K}(s)>0, \qquad {\mathcal T}={\mathcal T}(s),$$ (5.41)

kde ${\mathcal K}$ má spojitú aspoň druhú deriváciu a ${\mathcal T}$ má spojitú aspoň prvú deriváciu. Potom existuje jediná krivka, ktorá

1. má $s$ za oblúk a ${\mathcal K}$ a ${\mathcal T}$ za prvú a druhú krivosť,
2. prechádza ľubovoľným vopred daným bodom pre $s=0$,
3. má v tomto bode ľubovoľné vopred dané jednotkové a navzájom kolmé vektory ${\bf d_0}, {\bf n_0}, {\bf b_0}$ ako jednotkové vektory dotyčnice, hlavnej normály a binormály.

Zadaním funkcií(5.41) je až na svoju polohu v priestore určená krivka. Veličiny $s, {\mathcal K}, {\mathcal T}$ nazývame prirodzenými súradnicami a rovnice (5.41) prirodzenými rovnicami krivky. Prirodzené rovnice krivky vyjadrujú krivku nezávisle na voľbe súradnicovej sústavy. -

Príklad 16. Skrutkovica, ktorej prirodzená parametrizácia je (5.25) má v každom bode $P(s)$ konštantnú nenulovú krivosť i torziu. Takže rovnice

$${\mathcal K}(s)={\displaystyle \frac{r}{r^2+c^2}}, \qquad {\mathcal K}(s)={\displaystyle =\frac{c}{c^2+r^2}}$$

sú prirodzené rovnice skrutkovice (5.4). $\clubsuit$