Transformácia parametra krivky

Pri štúdiu krivky danej rovnicou (5.1) je niekedy výhodné prejsť k inej vektorovej rovnici tejto krivky, t.j. previesť regulárnu transformáciu parametra. Ak definujeme funkciu

$$t=t(t^*), \qquad t^* \in J^*,$$ (5.10)

spojitú na $J^*$ aj s prvou deriváciou a ${\displaystyle \frac{dt}{dt^*} \ne 0}$ pre každé $t^* \in J^*$, potom je funkcia (5.10) rýdzo monotónna a realizuje vzájomne jednoznačné zobrazenie intervalu $J^*$ na interval $J$. Rovnica (5.1) a rovnica

$${\bf p}={\bf p}[t(t^*)]={\bf p}(t^*), \qquad t^* \in J^*,$$

sú potom vektorovými rovnicami jednej a tej istej krivky. -

Príklad 7. Vektorovou rovnicou

$${\bf p}=[2t^4,\sin t^2, e^{t^2}], \qquad t \in (1,2),$$ (5.11)

je definovaná určitá regulárna krivka. Funkcia

$$t(t^*)=\sqrt{t^*}, \qquad t^* \in (1,4),$$ (5.12)

zobrazuje interval $(1,4)$ jednoznačne na interval $(1,2)$. Pomocou (5.12) prevedieme regulárnu transformáciu parametra. Dosadí me (5.12) do (5.11) a dostaneme nové vektorové vyjadrenie skúmanej krivky, a to v tvare

$${\bf p}=[2(t^*)^2,\sin t^*, e^{t^*}], \qquad t^* \in (1,4).$$ (5.13)

K funkcii (5.12) môžeme zostrojiť inverznú funkciu

$$t^*(t)=t^2, \qquad t \in (1,2),$$ (5.14)

a prevedením regulárnej transformácie parametra na (5.13) pomocou (5.14) dostávame pôvodnú vektorovú rovnicu (5.11). $\clubsuit$