Regulárna krivka

Metódami diferenciálneho počtu môžeme skúmať iba krivky, ktorých rovnice spĺňajú určité predpoklady týkajúce sa ich derivácií. Okrem spojitosti funkcie ${\bf p}(t)$ predpokladáme spojitosť jej prvej derivácie podľa všeobecného parametra $t$, ktorú budeme označovať

$${\bf\dot p}(t)=\frac{d{\bf p}(t)}{dt}=\left [\frac{dx(t)}{dt},\frac{dy(t)}{dt},\frac{dz(t)}{dt} \right ].$$

Bod $P(t)$ pre $t \in J$, v ktorom existuje ${\bf\dot p}(t)$ a je ${\bf\dot p}(t) \ne {\bf0}$ nazývame regulárny bod krivky. Ak je

$${\bf\dot p}(t) \ne {\bf0},$$

respektíve

$$(\dot x(t))^2+(\dot y(t))^2+(\dot z(t))^2 \ne 0$$ (5.9)

pre ľubovoľný bod $t \in J$, krivka $k$ je regulárna. -

Príklad 5. Krivka ${\bf p}(t)=[t^2, t-t^3,t^4+1]$ je regulárna, lebo ${\bf\dot p}(t)=[2t,1-3t^2,4t^3] \ne {\bf0}$ pre ľubovoľný bod $t \in J$. $\clubsuit$ -

Príklad 6. Krivka ${\bf p}(t)=[t^2, t^4-t^6,t^4+1]$ nie je regulárna, lebo ${\bf\dot p}(t)=[2t,4t^3-6t^5,4t^3]={\bf0}$ pre $t=0$. $\clubsuit$ Každý bod krivky, ktorý nie je regulárny nazývame singulárnym bodom krivky. Týmito bodmi a ich klasifikáciou sa nebudeme zaoberať a budeme pracovať iba s regulárnymi krivkami.