Výsledky

1. a) ${\cal R}^2$; celá rovina.

b) $\{(x,y);\ x^2+y^2\le 7^2\}$; kruh so stredom v počiatku a polomerom 7.

c) $\{(x,y);\ 1\le x^2+y^2\le 3\}$; medzikružie ohraničené kružnicami so stredom v počiatku a polomermi 1 a $\sqrt{3}$.

d) $\{(x,y);\ \vert x\vert\ge \vert y\vert\}$; časť roviny ohraničená priamkami $y = x$ a $y=-x$ a obsahujúca os $x$.

e) $\{(r,t);\ [r>0\ \ {\rm a}\ \ -\frac{\pi}{2}+2k\pi<t<\frac{\pi}{2}+2k\pi] \ {\rm alebo}\ [r<0\ \ {\rm a}\ \ \frac{\pi}{2}+2k\pi<t<\frac{3\pi}{2}+2k\pi]\}$; sústava " striedajúcich sa" pásov v rovine.

f) $\{(u,v);\ u^2/4+v^2/9<1\}$; vnútro elipsy s poloosami $2$ a $3$.

g) $\{(a,b);\ 4a^2+9b^2\le 1\}$; elipsa s poloosami $1/2$ a $1/3$.

h) $\{(a,b);\ ab<1\}$; časť roviny ohraničená vetvami hyperboly $b=1/a$ obsahujúca bod $(0,0)$.

i) $\{(x,y);\ -1\le 2x+y\le 1\}$; pás ohraničený priamkami $y=-1-2x$ a $y=1-2x$ obsahujúci bod $(0,0)$.

j) $\{(x,y);\ x^2+y^2\le\frac{1}{2}\}$ spolu s $\{(x,y);\ -\frac{1}{2}+2k \le x^2+y^2\le \frac{1}{2}+2k\}$ pre $k\ge 1$; sústava koncentrických medzikruží.

2. a) $\{(x,y,z);\ x^2+y^2+z^2\le 1\}$; guľa so stredom v počiatku a polomerom 1.

b) $\{(x,y,z);\ x^2+y^2+z^2\ge 4\}$; doplnok vnútra gule so stredom v počiatku a polomerom 2.

c) $\{(x,y,z);\ x^2+y^2+z^2\le 1\}$; guľa so stredom v počiatku a polomerom 1.

d) $\{(x,y,z);\ x^2+y^2\le z\}$; rotačný paraboloid s osou $z$.

e) $\{(r,s,t);\ r^2+s^2+4t^2 < 9\}$; vnútrajšok elipsoidu s poloosami $3$, $3$, a $3/2$.

f) $\{(u,v,w);\ u^2+v^2\le 1\}$; valec s osou $w$ a polomerom 1.

g) $\{(u,v,w);\ 4u^2+9v^2+w^2\ge 36\}$; doplnok elipsoidu a poloosami $3$, $2$, a $6$.

h) $\{(a,b,c);\ -1\le c\le 1\ \ {\rm a}\ \ ab<1\}$; vrstva "nad" a "pod" tou časťou roviny určenej osami $a$, $b$, ktorá je ohraničená vetvami hyperboly $b=1/a$ a obsahuje počiatok; hrúbka vrstvy je 2.

i) $\{(x,y,z);\ -1\le 2x+y-z\le 1\}$; vrstva ohraničená rovinami $z=2x+y-1$ a $z=2x+y+1$.

j) $\{(x,y,z);\ 2k<x^2+y^2+z^2<2k+1\}$ pre $k\ge 0$. Zjednotenie nekonečne mnohých množín $M_k$ v priestore, kde $M_k$ je časť priestoru ohraničená guľovými plochami so stredmi v počiatku a polomermi $\sqrt{2k}$ a $\sqrt{2k+1}$; hraničné plochy do $M_k$ nepatria.

3. Riešenia sú na obrázkoch 4.10 az 4.19.

Obrázok 4.10: $f(x,y)=2x-y+2$

Obrázok 4.11: $g(x,y)=2-x-y$

Obrázok 4.12: $h(x,y)=x^2+y^2$

Obrázok 4.13: $k(x,y)= x^2+4y^2$

Obrázok 4.14: $l(x,y)=\sqrt {x^2+y^2}$

Obrázok 4.15: $m(x,y)= \sqrt {x^2+9y^2}$

Obrázok 4.16: $p(r,s)= e^{-(r^2+s^2)}$

Obrázok 4.17: $q(r,s)= 2s/(r^2+s^2)$

Obrázok 4.18: $r(u,v)=2v/(u^2+v^2)$

Obrázok 4.19: $s(u,v)=u^2-v^2$

4. a) 28. b) 0. c) 1/2. d) 1/3. e) -1/6. f) 16. g) 1. h) -4. i) 0. j) 1.

5. a)-f): Použite priamky $y=k_1x$ a $y=k_2x$.

g)-j): Použite paraboly $y=k_1x^2$ a $y=k_2x^2$.

6.

a) $f_x=19(\sin^2x-3\cos^2y)^{18}\sin{2x};\ \ \f_y=57(\sin^2x-3\cos^2y)^{18}\sin{2y}$.


b) $g_x=\frac{3}{2}\frac{y^3-x^2}{\sqrt{x(3y^3-x^2)}};\ \ \g_y=\frac{9y^2}{2}\sqrt{\frac{x}{3y^3-x^2}}$.


c) $h_x=1/(1+x^2);\ \ \ h_y=-1/(1+y^2)$.


d) $k_x=\frac{\sqrt{y}}{2\sqrt{x}\sqrt{x^2-y^2}};\ \ \k_y=-\frac{\sqrt{x}}{2\sqrt{y}\sqrt{x^2-y^2}}$.


e) $l_x=\frac{1}{y}+\frac{z}{x^2};\ \ \ l_y=-\frac{x}{y^2}+\frac{1}{z};\ \ \ l_z=-\frac{y}{z^2}-\frac{1}{x}$.


f) $m_x=-\frac{x}{(\sqrt{x^2+y^2+z^2})^3}$;  ďalej symetricky.


g) $p_r=[({\rm tg}(r)-\sqrt{s^2+t^2})\cos^2{r}]^{-1}; \ \ \p_t=-s[\sqrt{s^2+t^2}{\rm tg}(r)-s^2-t^2]^{-1}$;   atď.


h) $q_r=\frac{\sin t}{2\sqrt{s\cos{t}+r\sin{t}}}$;   $q_s=\frac{\cos t}{2\sqrt{s\cos{t}+r\sin{t}}}$;   $q_t=\frac{-s\sin t+r\cos{t}}{2\sqrt{s\cos{t}+r\sin{t}}}$.


i) $r_x=(x+y)^{x+z}[\ln(x+y)+\frac{x+z}{x+y}]$;  $r_y=(x+y)^{x+z}\frac{x+z}{x+y}$;  


   $r_z=(x+y)^{x+z}\ln(x+y)$.


j) $s_x=2\sqrt{yz}(2x+3z)^{\sqrt{yz}-1}$;  $s_y=\frac{\sqrt{z}}{2\sqrt{y}}(2x+3z)^{\sqrt{yz}}\ln(2x+3z)$; 


   $s_z=(2x+3z)^{\sqrt{yz}}[\frac{1}{2}\sqrt{\frac{y}{z}}\ln(2x+3z)+\frac{3\sqrt{yz}}{2x+3y}]$.

7.

a) $f(x,y)\ \dot =\ 1-x-y$ .


b) $g(x,y)\ \dot =\ (3x+4y)/5$ .


c) $h(x,y)\ \dot =\ 0$ .


d) $k(x,y)\ \dot =\ \frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\pi}{6}x+\frac{1}{2}y$ .


e) $l(x,y)\ \dot =\ 1+x$ .


f) $m(x,y)\ \dot =\ x+y-2$ .


g) $p(x,y,z)\ \dot =\ 2(x+y+z)-3$ .


h) $q(x,y,z)\ \dot =\\ frac{\sqrt{2}}{2}(\frac{\pi}{4}x+y-z+\frac{4-\pi}{2})$ .

8. 8 percent.

9. $\Delta T=\pi\sqrt{\frac{g}{l}}(\Delta l + \frac{1}{g^2}\Delta g)$ .

14.

a) $\nabla f=y(2x+y){\bf i}+x(x+2y){\bf j}$;  ${\bf u}=\frac{3}{5}{\bf i}-\frac{4}{5}{\bf j}$;  $D_{\bf u}f(B)=4/5$.


b) $\nabla f=\frac{2x}{x^2+y^2}{\bf i}+\frac{2y}{x^2+y^2}{\bf j}$;  ${\bf u}=\frac{4}{5}{\bf i}+\frac{3}{5}{\bf j}$;  $D_{\bf u}f(B)=7/5$.


c) $\nabla f=\frac{1}{\sqrt{1-(x-2y)^2}}{\bf i}-\frac{2}{\sqrt{1-(x-2y)^2}}{\bf j}$;  ${\bf u}=\frac{1}{\sqrt{2}}{\bf i}- \frac{1}{\sqrt{2}}{\bf j}$;  $D_{\bf u}f(B)=3/\sqrt{2}$.


d) $\nabla f=(y+z){\bf i}+(z+x){\bf j}+(x+y){\bf k}$;  ${\bf u}=\frac{2}{3}{\bf i}-\frac{2}{3}{\bf j}+\frac{1}{3}{\bf k}$;  $D_{\bf u}f(B)=5/3$.


e) $\nabla f=-(3ye^z\sin{xy}){\bf i}-(3xe^z\sin{xy}){\bf j}+(3e^z\cos{xy}){\bf k}$;  ${\bf u}=-\frac{1}{3}{\bf i}+\frac{2}{3}{\bf j}+\frac{2}{3} {\bf k}$;  $D_{\bf u}f(B)=2$.


f) $\nabla f=(y\cos{xy}+ze^{xz}){\bf i}+(x\cos{xy}+\frac{1}{y}){\bf j}+(xe^{xz}+\frac{1}{z}){\bf k}$;  ${\bf u}=\frac{2}{3}{\bf i}+\frac{2}{3}{\bf j}-\frac{1}{3}{\bf k}$;  $D_{\bf u}f(B)=1$.


g) $\nabla f=\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}{\bf i}+\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}{\bf j}+\frac{z}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}{\bf k}$;  ${\bf u}=\frac{1}{\sqrt{3}}{\bf i}+\frac{1}{\sqrt{3}}{\bf j}+\frac{1}{\sqrt{3}}{\bf k}$;  $D_{\bf u}f(B)=1/(3\sqrt{3})$.


h) $\nabla f=-\frac{x}{(\sqrt{x^2+y^2+z^2})^3}{\bf i}-\frac{y}{(\sqrt{x^2+y^2+z^2})^3}{\bf j}-\frac{z}{(\sqrt{x^2+y^2+z^2})^3}{\bf k}$;  ${\bf u}=\frac{1}{3}{\bf i}-\frac{2}{3}{\bf j}-\frac{2}{3}{\bf k}$;


   $D_{\bf u}f(B)=1/(3\sqrt{3})$.


i) $\nabla f=-\frac{xz}{(x^2+y^2)\sqrt{x^2+y^2-z^2}}{\bf i}-\frac{yz}{(x^2+y^2)\sqrt{x^2+y^2-z^2}}{\bf j}+\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2-z^2}}{\bf k}$;  ${\bf u}=\frac{2}{3}{\bf i}+\frac{2}{3}{\bf j}+\frac{1}{3}{\bf k}$;


   $D_{\bf u}f(B)=-1/3$.


j) $\nabla f=3x\sqrt{x^2+y^2+z^2}{\bf i}+3y\sqrt{x^2+y^2+z^2}{\bf j}+3z\sqrt{x^2+y^2+z^2}{\bf k}$;  ${\bf u}= 0{\bf i}+\frac{3}{5}{\bf j}-\frac{4}{5}{\bf k}$;


   $D_{\bf u}f(B)=18$.

15.

a)  $2x-4y-z-5=0$ .


b)   $3x-4y+5z=0$ .


c)  $3x-y+3z-19=0$ .


d)  $2x+2y+z-4=0$ .


e)  $x+y-z+(\pi -2)=0$ .


f)  $8x+6y+25ez-75=0$ .


g)  $x-y-1=0$ .


h)  $2x+(4+\ln{2})y+2\ln{2}z-(10+4\ln{2})=0$ .

16. a) Stacionárny bod $(3,2)$, v ktorom má funkcia lokálne minimum.

b) Stacionárny bod $(-5,3)$, v ktorom má funkcia sedlový bod.

c) Stacionárny bod $(-4,-2)$, v ktorom má funkcia lokálne maximum.

d) Stacionárny bod $(1,-2)$, v ktorom má funkcia sedlový bod.

e) Stacionárny bod $(2,-1)$, v ktorom má funkcia lokálne minimum.

f) Stacionárny bod $(3,-2)$, v ktorom má funkcia lokálne maximum.

g) Nekonečne mnoho stacionárnych bodov tvaru $(r,r+2)$. Keďže $D=0$, nemožno záver urobiť podľa D-testu. Avšak ľahkou úpravou vidíme, že $p(r,s)=(r-s+2)^2$, a teda v každom z uvedených stacionárnych bodov nadobúda naša funkcia lokálne minimum.

h) Stacionárny bod $(3/2,5/4)$, v ktorom má funkcia sedlový bod.

i) Stacionárny bod $(3,-3)$, v ktorom má funkcia lokálne minimum.

j) Stacionárny bod $(-2,1)$, v ktorom má funkcia lokálne maximum.

17. a) Jediný stacionárny bod $(0,0)$. Keďže $D=0$, nie je možné použiť D-test. Zo správania sa funkcie $f$ pozdĺž osi $y$ (teda pre $x=0$) a pozdĺž paraboly $x = y^2$ je však jasné, že bod $(0,0)$ je sedlovým bodom.

b) Dva stacionárne body $B_1=(0,0)$, $B_2=(-1,-1)$; bod $B_1$ je sedlovým bodom a v $B_2$ sa nadobúda lokálne maximum.

c) Štyri stacionárne body $B_1=(0,0)$, $B_2=(0,2/3)$, $B_3=(2/3,0)$, $B_4=(2/3,2/3)$. Body $B_1$ a $B_4$ sú sedlovými bodmi, v bode $B_2$ má funkcia lokálne maximum a v $B_3$ má lokálne minimum.

d) Dva stacionárne body $B_1=(0,0)$, $B_2=(-2/3,2/3)$; bod $B_1$ je sedlovým bodom a v $B_2$ sa nadobúda lokálne minimum.

e) Štyri stacionárne body $B_1=(0,0)$, $B_2=(0,-2)$, $B_3=(2,0)$, $B_4=(2,-2)$. Body $B_1$ a $B_4$ sú sedlovými bodmi, v bode $B_2$ má funkcia lokálne maximum a v $B_3$ má lokálne minimum.

f) Dva stacionárne body $B_1=(0,0)$, $B_2=(1,-1)$; bod $B_1$ je bodom lokálneho maxima a $B_2$ je sedlovým bodom.

g) Tri stacionárne body $B_1=(0,0)$, $B_2=(1,1)$ $B_3=(-1,-1)$; bod $B_1$ je sedlovým bodom a v bodoch $B_2$ a $B_3$ sa nadobúda lokálne minimum.

h) Jediný stacionárny bod $(5/2,4/5)$, v ktorom sa nadobúda lokálne minimum.

i) Osem stacionárnych bodov $B_1=(0,1)$, $B_2=(0,-1)$, $B_3=(1,0)$, $B_4=(-1,0)$, $B_5=(1/\sqrt{2e},1/\sqrt{2e})$, $B_6=(-1/\sqrt{2e},1/\sqrt{2e})$,
$B_7=(1/\sqrt{2e},-1/\sqrt{2e})$, $B_8=(-1/\sqrt{2e},-1/\sqrt{2e})$. Body $B_1$ až $B_4$ sú sedlovými bodmi, v bodoch $B_5$ a $B_8$ sa nadobúda lokálne minimum a v bodoch $B_6$ a $B_7$ lokálne maximum.

j) Päť stacionárnych bodov $B_1=(0,0)$, $B_2=(0,1)$, $B_3=(0,-1)$, $B_4=(1,0)$, $B_5=(-1,0)$; v bode $B_1$ je lokálne minimum, v bodoch $B_4$ a $B_5$ sa nadobúda lokálne maximum, a $B_2$, $B_3$ sú sedlové body.

18. a) Najväčšia hodnota $25/4$ v bode $(3/2,-1/2)$; najmenšia hodnota neexistuje.

b) Najväčšia hodnota $5c\cdot 4^{1/3}$ v bode $(2c/3,c/3)$; najmenšia hodnota neexistuje.

c) Najväčšia hodnota $5/4$ v bodoch $(-1/2,-\sqrt{3}/2)$ a $(-1/2,\sqrt{3}/2)$; najmenšia hodnota $-1$ v bode $(1,0)$.

d) Najväčšia hodnota $9$ v bodoch $(-3,0)$ a $(3,0)$; najmenšia hodnota $-9$ v bodoch $(0,-3)$ a $(0,3)$.

e) Najväčšia hodnota $125$ v bodoch $(-\sqrt{5},2\sqrt{5})$ a $(\sqrt{5},-2\sqrt{5})$; najmenšia hodnota $0$ v bodoch $(2\sqrt{5},\sqrt{5})$ a $(-2\sqrt{5},-\sqrt{5})$.

f) Najmenšia hodnota $12$ v bode $(6,6)$; najväčšia hodnota neexistuje.

g) Najväčšia hodnota $25$ v bode $(5,5)$; najmenšia hodnota neexistuje.

h) Najmenšia hodnota $0$ v bode $(0,0)$; najväčšia hodnota $20$ v bode $(2,4)$.

19. a) Najmenšia a najväčšia hodnota v danom prípade neexistuje. Lagrangeova metóda síce dáva 4 kandidátov na extrém, ale v žiadnom z nich sa naozaj najmenšia a najväčšia hodnota nenadobúda. Pozri Príklad 3 v 4.3.2.

b) Najmenšia hodnota je $27$ a nadobúda sa v bode $(3,3,3)$; najväčšia hodnota neexistuje.

c) Najmenšia hodnota $-14$ v bode $(-1,-2,-3)$, najväčšia hodnota $14$ v bode $(1,2,3)$.

d) Najmenšia hodnota $-27$ v bodoch $(-3,3,3)$, $(3,-3,3)$, $(3,3,-3)$ a $(-3,-3,-3)$; najväčšia hodnota $27$ v bodoch $(3,3,3)$, $(-3,-3,3)$, $(-3,3,-3)$ a $(3,-3,-3)$.

e) Najmenšia hodnota $-1/8$ v bodoch $(1/2,-1/2,1/\sqrt{2})$, $(1/2,-1/2,-1/\sqrt{2})$, $(-1/2,1/2,1/\sqrt{2})$ a $(-1/2,1/2,-1/\sqrt{2})$; najväčšia hodnota $1/8$ v bodoch $(1/2,1/2,1/\sqrt{2})$, $(1/2,1/2,-1/\sqrt{2})$,
$(-1/2,-1/2,1/\sqrt{2})$ a $(-1/2,-1/2,-1/\sqrt{2})$.

f) Najmenšia hodnota je $0$ a nadobúda sa v nekonečne mnohých bodoch (práve v tých, ktoré majú aspoň jednu súradnicu nulovú); najväčšia hodnota $1$ sa nadobúda v 8 bodoch tvaru $(\pm 1,\pm 1,\pm 1)$.

g) Najmenšia a najväčšia hodnota v danom prípade neexistuje; pozri aj Príklad 3 v 4.3.2.

h) Najmenšia hodnota $-6\sqrt{3}$ v bode $(0,\sqrt{3},-2)$; najväčšia hodnota $32/3$ v bodoch
$(\pm 4/3,-4/3,-4/3)$.

20. a) Globálne minimum $-2$ v bode $(2,-1)$ vnútri $M$; globálne maximum $11$ v bode $(3,1)$ na hranici $M$.

b) Globálne minimum $4$ v bodoch $(1,1)$ vnútri $M$ a $(0,-1)$ na hranici $M$; globálne maximum $18$ v bode $(2,-1)$ na hranici $M$.

c) Globálne minimum $-16$ v bode $(4,2)$ na hranici $M$; globálne maximum $16$ v bodoch $(4,0)$ a $(4,4)$ na hranici $M$.

d) Globálne minimum $-18$ v bode $(0,3)$ na hranici $M$; globálne maximum $0$ v bode $(0,0)$ na hranici $M$.

e) Globálne minimum $-64$ v bode $(2,4)$ na hranici $M$; globálne maximum $4$ v bode $(1,2)$ vnútri $M$.

f) Globálne minimum $-1$ v bode $(-1,0)$ na hranici $M$; globálne maximum $7/2$ v bodoch
$(1/2,\pm\sqrt{3}/2)$ na hranici $M$.

g) Globálne minimum $-4$ v bodoch $(0,\pm 2)$ na hranici $M$; globálne maximum $4$ v bodoch $(\pm 2,0)$ na hranici $M$.

h) Globálne minimum $0$ v bode $(0,0)$ vnútri $M$; globálne maximum $3/e$ v bodoch $(0,\pm 1)$ vnútri $M$.

21. a) aj b): V oboch prípadoch je riešením kocka s hranou $2r/\sqrt{3}$.

22. a) Valec má polomer $2r/3$ a výšku $v/3$.

b) Úloha má zmysel len ak $v>2r$, a potom je riešením valec s polomerom $vr/(2v-2r)$ a výškou $v(v-2r)/(2v-2r)$.

23. Riešením je valec, ktorého výška sa rovná jeho priemeru.

24. Bod $(5/2,3/2,2)$.

25. Body $(\sqrt{2},-\sqrt{2},1)$ a $(-\sqrt{2},\sqrt{2},1)$.