Rozličné úlohy

1. Zistite a znázornite definičné obory nasledujúcich funkcií:

$$\begin{array}{ll} \vrule height 14pt width 0pt{\rm a)}\ \ \ f... ... 0pt{\rm j)}\ \ \ s(x,y)=\sqrt{\cos(\pi(x^2+y^2))} \end{array}$$

2. Určte a popíšte definičné obory funkcií:

$$\begin{array}{l} \vrule height 14pt width 0pt{\rm a)}\ \ \ f(... ...{\rm j)}\ \ \ s(x,y,z)=\ln{\sin(\pi(x^2+y^2+z^2))} \end{array}$$

3. Pomocou znázornenia niekoľkých vrstevníc sa pokúste načrtnúť grafy nasledujúcich funkcií:

$$\begin{array}{ll} \vrule height 14pt width 0pt{\rm a)}\ \ \ f... ... height 14pt width 0pt{\rm j)}\ \ \ s(u,v)=u^2-v^2 \end{array}$$

4. Vypočítajte nasledujúce limity:

$$\begin{array}{ll} \vrule height 18pt width 0pt{\rm a)}\ \ \ \... ...\lim_{(x,y)\to (0,0)}\frac{\sin(x^4+y^4)}{x^4+y^4} \end{array}$$

5. Pomocou výberu vhodných kriviek "približovania sa" k bodu $(x_0,y_0)$ ukážte, že nasledujúce limity neexistujú:

$$\begin{array}{ll} \vrule height 18pt width 0pt{\rm a)}\ \ \ \... ...\ \ \ \lim_{(x,y)\to (0,0)}\frac{\sin(x^2)}{x^2+y} \end{array}$$

6. Vypočítajte všetky prvé parciálne derivácie funkcií uvedených nižšie:

$$\begin{array}{ll} \vrule height 18pt width 0pt{\rm a)}\ \ \ f... ...idth 0pt{\rm j)}\ \ \ s(x,y,z)=(2x+3z)^{\sqrt{yz}} \end{array}$$

7. K nasledujúcim funkciám nájdite štandardnú lineárnu aproximáciu v danom bode $B$:

$$\begin{array}{ll} \vrule height 14pt width 0pt{\rm a)}\ \ f(x... ...h)}\ \ q(x,y,z)=\frac{\sin{xy}}{z} & B=(1,\pi/4,1) \end{array}$$

8. S akou približnou hodnotou relatívnej chyby objemu kužeľa môžme počítať, ak relatívna chyba merania polomeru podstavy je 3 percená a výšky 2 percená?

9. Doba kmitu matematického kyvadla dĺžky $l$ je daná vzťahom $T=2\pi\sqrt{l/g}$. S akou približnou chybou je určená doba kmitu $T$, ak dĺžka kyvadla $l$ je a gravitačná konštanta $g$ sú určené s absolútnymi chybami $\Delta l$ a $\Delta g$ ?

10. Ukážte, že každá z nasledujúcich funkcií spĺňa Laplaceovu rovnicu $f_{xx}+f_{yy}+f_{zz}=0$:

$$\begin{array}{ll} \vrule height 14pt width 0pt{\rm a)}\ \ f(x... ...{x^2+y^2}& {\rm d)}\ \ f(x,y,z)= e^{3x+4y}\cos{5z} \end{array}$$

11. Ukážte, že pre ľubovoľné konštanty $a,b$ funkcia

$$u=\frac{1}{2a\sqrt{\pi t}}e^{-(x-b)^2/(4a^2t)}$$

spĺňa tzv. rovnicu pre šírenie tepla $u_{xx}=(1/a^2)u_t$.

12. Pomocou reťazového pravidla ukážte, že (za predpokladu spojitosti parciálnych derivácií druhého rádu) ľubovoľná funkcia $z=f(x+at)+g(x-at)$, kde $a$ je konštanta, spĺňa tzv. vlnovú rovnicu $z_{tt}-a^2z_{xx}=0$.

13. Použitím reťazového pravidla dokážte, že (za predpokladu spojitosti parciálnych derivácií druhého rádu) pre ľubovoľné funkcie jednej premennej $r$ a $s$ je funkcia $z=xr(x/y)+ys(x/y)$ riešením rovnice $x^2z_{xx}+2xy\cdot z_{xy}+y^2z_{yy}=0$.

14. Pre nasledujúce funkcie $f$ vypočítajte ich gradient $\nabla f$ vo všeobecnosti, a potom aj deriváciu v danom bode $B$ v smere daného vektora $\bf v$ (pozor na nejednotkové vektory!):

$$\begin{array}{ll} \vrule height 14pt width 0pt{\rm a)}\ \ \ f... ...,\ \ \ & B=(2,2,-1)\ , \ {\bf v}=3{\bf j}-4{\bf k} \end{array}$$

15. Vypočítajte rovnice dotykových rovín ku daným plochám v daných bodoch $B$ metódou gradientov alebo metódou linearizácie:

$$\begin{array}{ll} \vrule height 14pt width 0pt{\rm a)}\ \ \ z... ...og_2(x^2+y^2-1)+\sqrt{y+2z}=4\ , \ \ \ & B=(1,2,1) \end{array}$$

16. Určte stacionárne body, lokálne extrémy a sedlové body grafov nasledujúcich funkcií:

$$\begin{array}{l} \vrule height 14pt width 0pt{\rm a)}\ \ \ f(... ...idth 0pt{\rm j)}\ \ \ v(x,y)=xy+8y-2x^2-3y^2-9x-66 \end{array}$$

17. Vypočítajte všetky stacionárne body, lokálne extrémy a sedlové body funkcií:

$$\begin{array}{l} \vrule height 14pt width 0pt{\rm a)}\ \ \ f(... ...h 0pt{\rm j)}\ \ \ v(x,y)=(2x^2+y^2)e^{-(x^2+y^2)} \end{array}$$

18. Lagrangeovou metódou určte najmenšiu a najväčšiu hodnotu funkcie $z=f(x,y)$ na krivke $g(x,y)=0$, ak:

$$\begin{array}{ll} \vrule height 14pt width 0pt{\rm a)}\ \ \ f... ... 14pt width 0pt{\rm na\ krivke}\ \ x^2-2x+y^2-4y=0 \end{array}$$

19. Lagrangeovou metódou určte najmenšiu a najväčšiu hodnotu funkcie $w=f(x,y,z)$ na ploche $g(x,y,z)=0$, ak:

$$\begin{array}{ll} \vrule height 14pt width 0pt{\rm a)}\ \ \ f... ...=2x^2-4y+yz & {\rm na\ ploche}\ \ 4x^2+4y^2+z^2=16 \end{array}$$

20) Vypočítajte globálne extrémy nasledujúcich funkcií na daných dvojrozmerných útvaroch $M$:

a) $f(x,y)=x^2+2xy+2y^2-2x$, $M$ je obdĺžnik s vrcholmi $(0,-2)$, $(3,-2)$, $(3,1)$ a $(0,1)$.

b) $f(x,y)=x^3+y^3-3xy+5$, $M$ je obdĺžnik s vrcholmi $(0,-1)$, $(2,-1)$, $(2,2)$ a $(0,2)$.

c) $f(x,y)=x^2-8xy+8y^2$, $M$ je trojuholník s vrcholmi $(0,0)$, $(4,0)$ a $(4,4)$;

d) $f(x,y)=x^2-2y^2+4xy-6x$, $M$ je trojuholník s vrcholmi $(0,0)$, $(3,0)$ a $(0,3)$;

e) $f(x,y)=xy^2(4-x-y)$, $M$ je trojuholník s vrcholmi $(0,0)$, $(6,0)$ a $(0,6)$;

f) $f(x,y)=x^2+2x+3y^2$, $M$ je kruh so stredom v počiatku a s polomerom $1$.

g) $f(x,y)=x^2-y^2$, $M$ je kruh so stredom v počiatku a s polomerom $2$.

h) $f(x,y)=(2x^2+3y^2)e^{-(x^2+y^2)}$, $M$ je kruh so stredom v počiatku a s polomerom $2$.

21. Do pologule s polomerom $r$ vpíšte pravouhlý rovnobežnosten s najväčším a) objemom, b) povrchom.

22. Do kužeľa s polomerom $r$ a výškou $v$ vpíšte valec s najväčším a) objemom, b) povrchom.

23. Zo všetkých valcových nádob s daným povrchom $S$ nájdite takú, ktorá má najväčší objem.

24. Pomocou Lagrangeovej metódy nájdite vzdialenosť roviny $3x+y+2z=13$ od bodu $(1,1,1)$.

25. Na ploche $z=3+xy$ nájdite bod, ktorý je najbližšie ku počiatku súradnicovej sústavy.