Systémy diferenciálnych rovníc

V tejto časti si veľmi stručne povieme o systémoch diferenciálnych rovníc. Obmedzíme sa len na rovnice prvého rádu a systémy rovníc tvaru:

$$y_1^\prime = f_1(x,y_1,y_2,\dots,y_n),$$

$$y_2^\prime = f_2(x,y_1,y_2,\dots,y_n),$$

$$.......................................$$ (3.24)

$$y_n^\prime = f_n(x,y_1,y_2,\dots,y_n),$$

kde $y_1,y_2,\dots y_n$ sú neznáme funkcie a $f_1,f_2,\dots f_n$ sú funkcie, ktoré popisujú vzťahy medzi neznámymi funkciami pre jednotlivé prvé derivácie. Príkladom takéhoto systému môže byť systém dvoch diferenciálnych rovníc -

Príklad 28.

$$y^\prime = \frac{3y-2z}{x}$$ (3.25)

$$z^\prime = \frac{4y-3z}{x}$$ (3.26)

Riešením systému diferenciálnych rovníc (3.24) na intervale $J$ nazývame každú $n$-ticu funkcií
$y_1,y_2,\dots,y_n$, diferencovateľných na intervale $J$, ktoré vyhovujú každej rovnici systému (3.24). Ak sú navyše dané začiatočné podmienky

$$y_1(x_0)=c_1,\quad y_2(x_0)=c_2,\quad \dots,\quad y_n(x_0)=c_n,$$ (3.27)

potom hľadanie riešenia systému (3.24), ktoré vyhovuje začiatočným podmienkam (3.27) nazývame Cauchyho úlohou pre systém diferenciálnych rovníc.

Veta 3..16   (Peanova veta). Nech sú funkcie $f_1,f_2,\dots f_n$ systému (3.24) spojité na množine $I = \langle x_0-a,x_0+a \rangle \times \langle c_1-b,c_1+b \rangle \times \langle c_2-b,c_2+b \rangle \times \dots \times \langle c_n-b,c_n+b \rangle$, kde $a>0$, $b>0$, potom systém (3.24) má aspoň jedno riešenie $y_1(x), y_2(x), \dots, y_n(x)$, kde funkcie spĺňajú začiatočné podmienky (3.27). Funkcie tohoto systému riešení sú spojite diferencovateľné na intervale $\langle x_0-h,x_0+h\rangle$, kde $h=\min \{ a, \frac{b}{M} \}$, pričom $M>0$ je také, že platí: $\vert f_k(x,y_1,y_2,\dots, y_n)\vert \leq M$, $k=1,2,\dots,n$, na množine $I$.

Poznámka. Každej diferenciálnej rovnici $n$-tého rádu

$$y^{(n)} = f(x,y,y^\prime,\dots, y^{(n-1)})$$

možno priradiť systém diferenciálnych rovníc, kde $y=y_1$ a $y_1^\prime = y_2$ $y_2^\prime = y_3$ ........ $y_{n-1}^\prime = y_n$ $y_n^\prime = f(x,y_1,y_2,\dots, y_n),$ ktorý nazývame normálnym systémom diferenciálnej rovnice $n$-tého rádu.

Poznámka. Niekedy sa dá normálny diferenciálny systém (3.24) upraviť na jedinú diferenciálnu rovnicu $n$-tého rádu. Tento spôsob hľadania riešenia sa nazýva eliminačná metóda. -

Príklad 29. Riešte daný systém diferenciálnych rovníc:

$$y^\prime = z, \quad z^\prime = y.$$

Riešenie: Systém budeme riešiť eliminačnou metódou. Zderivovaním druhej rovnice máme:

$$y^\prime = z^{\prime \prime}.$$

Dosadíme do prvej rovnice a pre funkciu $z$ dostávame:

$$z^{\prime \prime} - z =0.$$

Dostali sme lineárnu diferenciálnu rovnicu 2. rádu s konštantnými koeficientami bez pravej strany. Jej všeobecné riešenie je $z= c_1 e^{x} + c_2 e^{-x}$, pre $c_1, c_2 \in \mathcal{R}$. Zderivovaním tohoto riešenia dostávame riešenie pre $y$:

$$y = c_1 e^{x} - c_2 e^{-x}.$$

$\clubsuit$

Teraz si niečo povieme o špeciálnom type systému diferenciálnych rovníc - o lineárnych diferenciálnych rovniciach. Lineárnym diferenciálnym systémom nazývame systém diferenciálnych rovníc tvaru:

$$y_1^\prime = a_{11}(x) y_1 + a_{12}(x) y_2+ \dots + a_{1n}(x) y_n + b_1(x),$$

$$y_2^\prime = a_{21}(x) y_1 + a_{22}(x) y_2+ \dots + a_{2n}(x) y_n + b_2(x),$$

$$................................................................................$$ (3.28)

$$y_n^\prime = a_{n1}(x) y_1 + a_{n2}(x) y_2+ \dots + a_{nn}(x) y_n + b_n(x).$$

Funkcie $a_{ik}(x)$, $i,k = 1,2,\dots,n$, definované na intervale $J$, nazývame koeficientami lineárneho diferenciálneho systému. Systém, kde $b_i(x)=0,$ pre všetky $x\in J$ a $i=1,2,\dots,n$ nazývame homogénnym diferenciálnym systémom:

$$y_1^\prime = a_{11}(x) y_1 + a_{12}(x) y_2+ \dots + a_{1n}(x) y_n$$

$$y_2^\prime = a_{21}(x) y_1 + a_{22}(x) y_2+ \dots + a_{2n}(x) y_n$$

$$...................................................................$$ (3.29)

$$y_n^\prime = a_{n1}(x) y_1 + a_{n2}(x) y_2+ \dots + a_{nn}(x) y_n$$

Jedno jeho riešenie, a síce $y_i(x)=0$ pre všetky $x\in J$, $i=1,2,\dots,n$, vždy existuje. Nazývame ho triviálne riešenie. Z podkapitoly o lineárnych diferenciálnych rovniciach vyššieho rádu už vieme, čo je to fundamentálny systém riešení. Aj pre systém $n$ lineárnych diferenciálnych rovníc definujeme takýto fundamentálny systém riešení ako $n$ lineárne nezávislých riešení diferenciálneho systému (3.29) definovaných na intervale $J$. Platí: Ak $Y_1, Y_2, \dots, Y_n$ sú riešenia systému (3.29), potom aj ich lineárna kombinácia je riešením systému (3.29). Nech $Y_1=(y_{11},y_{12},\dots, y_{1n}),\dots, Y_n=(y_{n1},y_{n2},\dots,y_{nn})$ sú riešenia lineárneho systému (3.29). Tieto riešenia sú lineárne nezávislé na intervale $J$, to jest tvoria fundamentálny systém riešení vtedy a len vtedy, keď aspoň v jednom bode $x\in J$ je

$$D(Y_1, Y_2, \dots, Y_n) = { \left\vert \begin{array}{rrr... ...n},& \dots ,& y_{nn} \\ \end{array} \right\vert \neq 0. }$$

Každé riešenie diferenciálneho systému (3.29) možno vyjadriť ako lineárnu kombináciu jeho fundamentálneho systému. Ak sú všetky koeficienty $a_{ik}(x), b_i(x)$, $i,k = 1,2,\dots,n$ spojité funkcie na intervale $J=\langle \alpha,\beta \rangle$, potom pre Cauchyho úlohu (3.28), (3.27) existuje jediné riešenie - to jest $n$-tica funkcií definovaných na intervale $J$, ktoré spĺňa rovnice (3.28) a začiatočnú podmienku (3.27).
Nech $U$ je riešením nehomogénneho systému (3.28). Potom $n$-tica $Y$ je riešením diferenciálneho systému (3.28) práve vtedy, keď ju možno vyjadriť v tvare

$$Y= c_1 Y_1 + c+2 Y_2 +\dots + c_n Y_n +U,$$

kde $c_1,c_2,\dots,c_n$ sú vhodné reálne čísla a $Y_1, Y_2, \dots, Y_n$ je fundamentálny systém riešení prislúchájúceho homogénneho systému.
Teraz treba už len vyriešiť otázku, ako získame riešenie $U$, ak máme fundamentálny systém riešení. Odpoveď dáva znovu, (podobne ako u lineárnych diferenciálnych rovníc vyšších rádov) metóda variácie konštánt: Nech $Y_1, Y_2, \dots, Y_n$ je fundamentálny systém riešení homogénneho systému (3.29) prislúchajúci systému (3.28). Nech $D=D(Y_1,Y_2,\dots,Y_n)$ a $D_i$ je determinant, ktorý vznikne z determinantu $D$, ak v ňom $i$-ty stĺpec nahradíme stĺpcom $b_1(x),b_2(x),\dots,b_n(x)$. Potom $n$-tica $U=(u_1,u_2,\dots,u_n)$, kde

$$u_k(x) = \sum \limits_{j=1}^n y_{jk} \int \frac{D_j}{D} \,dx, \quad k=1,2,\dots,n,$$

je riešením nehomogénneho diferenciálneho systému (3.28). Otázka nájdenia fundamentálneho systému riešení je rovnakej obtiažnosti, ako u lineárnych diferenciálnych rovníc vyšších rádov. V našich ďalších úvahách sa preto obmedzíme len na také systémy, kde koeficienty $a_{ik}$, $i,k=1,\dots,n$, sú len konštanty, nie funkcie premennej $x$. Takýmto systémom hovoríme lineárne diferenciálne systémy s konštantnými koeficientami (nehomogénne alebo homogénne). Sú tvaru:

$$y_i^\prime = \sum \limits_{j=1}^n a_{ij}y_j + b_i(x),\quad i=1,2,\dots,n,$$ (3.30)

$$y_i^\prime = \sum \limits_{j=1}^n a_{ij}y_j , \quad i=1,2,\dots,n.$$ (3.31)

Diferenciálny systém (3.31) má nenulové riešenie tvaru $Y =( \alpha_1 e^{r_1x}, \alpha_2 e^{r_1 x}, \dots , \alpha_n e^{r_1x})$, kde $r_1$ je koreňom charakteristickej rovnice systému:

$${ \left\vert \begin{array}{cccc} a_{11}-r & a_{12} &\dots... ...a_{n2} & \dots & a_{nn} -r \\ \end{array} \right\vert =0 }$$

a $n$-tica $(\alpha_1,\alpha_2,\dots, \alpha_n)$ je riešením systému lineárnych algebraických rovníc:
$(a_{11}-r_1)\alpha_1 + a_{12}\alpha_2+ \dots + a_{1n} \alpha_n =0,$
$a_{21}\alpha_1 + (a_{22}-r_1) \alpha_2 + \dots + a_{2n} \alpha_n =0,$
.............................................
$a_{n1} \alpha_1 + a_{n2} \alpha_2 + \dots + (a_{nn} -r_1) \alpha_n =0.$
Nech $r_1,r_2,\dots r_k$ sú navzájom rôzne korene charakteristickej rovnice diferenciálneho systému (3.31).
Nech $Y_1, Y_2, \dots, Y_k$ sú riešenia tohoto systému získané popísaným spôsobom. Potom tieto riešenia sú lineárne nezávislé. Nech $r_1$ je $k$-násobným riešením charakteristickej rovnice diferenciálneho systému (3.31). Potom existujú polynómy $P_{mj}(x)$ stupňa najviac $m$, $m=0,1,\dots,k{-}1$, $j=1,2,\dots,n$, že $n$-tice
$U_0=(P_{01} e^{r_1x}, P_{02}e^{r_1x}, \dots ,P_{0n}e^{r_1x}),$
$U_1=(P_{11} e^{r_1x}, P_{12}e^{r_1x}, \dots ,P_{1n}e^{r_1x}),$
.......................................
$U_{k-1}=(P_{k-1,1} e^{r_1x}, P_{k-1,2}e^{r_1x}, \dots ,P_{k-1,n}e^{r_1x})$
sú lineárne nezávislými riešeniami diferenciálneho systému (3.31). Koeficienty polynómov určíme metódou neurčitých koeficientov po dosadení jednotlivých riešení $U_i$, $i=0,1,\dots,k{-}1$ do diferenciálneho systému (3.31). Ak riešením diferenciálneho systému (3.31) je $n$-tica komplexných funkcií (koreň charakteristickej rovnice je komplexné číslo):

$$Z= ( u_1+i v_1, u_2 +i v_2,\dots, u_n + i v_n),$$

kde $u_i$, $i=1,2,\dots,n$ sú reálne zložky a $v_i$, $i=1,2,\dots,n$, sú imaginárne zložky komplexných funkcií riešenia $Z$, potom $n$-tice

$$\mathop{Re}\, Z = ( u_1, u_2, \dots, u_n), \quad \mathop{Im}\, Z = (v_1, v_2,\dots,v_n),$$

sú tiež riešenia diferenciálneho systému (3.31). Ak ku všetkým koreňom charakteristickej rovnice diferenciálneho systému (3.31) nájdeme týmto spôsobom všetky riešenia diferenciálenho systému vrátane násobnosti koreňov charakteristickej rovnice, potom dostaneme $n$ riešení diferenciálneho systému (3.31), ktoré tvoria fundamentálny systém riešení systému (3.31). -

Príklad 30. Riešme diferencálny systém:
$y_1^\prime = 2 y_1 +y_2 -2 y_3$, $y_2^\prime = -y_1$, $y_3^\prime = y_1 + y_2 -y_3$.

Riešenie: Je to homogénny systém troch lineárnych diferenciálnych rovníc. Riešením bude trojica funkcií $(y_1(x),y_2(x),y_3(x))$, ktoré budeme hľadať v tvare: $(\alpha_1 e^{rx},\alpha_2 e^{rx},\alpha_3 e^{rx}).$ Vypočítame prvé derivácie takto zvolených riešení a dosadíme do rovníc systému. Máme:
$\alpha_1 r e^{rx} = 2 \alpha_1 e^{rx} +\alpha_2 e^{rx}-2 \alpha_3 e^{rx}$ $\alpha_2 r e^{rx} = - \alpha_1 e^{rx}$ $\alpha_3 r e^{rx} = \alpha_1 e^{rx} +\alpha_2 e^{rx}- \alpha_3 e^{rx}$
$\noindent$Po úprave s prihliadnutím na fakt, že $e^{rx} \neq 0$ pre každé $x \in \mathcal{R}$, dostaneme:
$0= (2-r) \alpha_1 + \alpha_2 - 2 \alpha_3$, $0= - \alpha_1 -r \alpha_2$, $0= \alpha_1 + \alpha_2 - (1+r) \alpha_3$.
Toto je homogénny lineárny systém algebraických rovníc s neznámymi $\alpha_1$, $\alpha_2$, $\alpha_3$, ktorý má nenulové riešenie práve vtedy, keď (pozri 1. diel skrípt, kapitola 4.)

$${ \left\vert \begin{array}{ccc} 2-r & 1 & -2 \\ -1 & -r & 0 \\ 1 & 1 & -( 1+r) \\ \end{array} \right\vert =0, }$$

čiže

$$r^3 -r^2 + r -1 =0.$$

Toto je charakteristická rovnica zadaného systému diferenciálnych rovníc. Jej korene sú: $r_1=1$, $r_2 = i$, $r_3 =-i$. Pre $r_1=1$ vypočítame z diferenciálneho systému algebraických rovníc neznáme $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$. Dostávame: $\alpha_1 =u$, $\alpha_2= -u$, $\alpha _3 =0$, kde $u$ je ľubovoľné číslo. Jedno riešenie diferenciálneho systému je preto (zvolíme $u=1$):

$$Y_1 =( e^{x}, - e^{x},0).$$

Podobne vypočítame riešenie aj pre koreň $r_2 = i$. Máme $\alpha_1 =-iu,\ \alpha_2 =u,\ \alpha_3 =-iu,$ kde $u$ je ľubovoľné číslo. Pre $u=1$ máme riešenie diferenciálneho systému
$Z=( -i e^{ix}, e^{ix}, -i e^{ix})$,
z ktorého môžeme dostať dve riešenia :
$Y_2 = (\sin x, \cos x, \sin x)$, $Y_3 =( -\cos x, \sin x ,- \cos x)$.
Riešenia $Y_1,Y_2,Y_3$ tvoria fundamentálny systém riešení nášho systému. Všeobecné riešenie tohoto systému môžeme zapísať v tvare:

$$Y= c_1 Y_1 + c_2 Y_2 + c_3 Y_3,$$

z ktorého potom rozpisom po zložkách máme:
$y_1 = c_1 e^x + c_2 \sin x -c_3 \cos x ,$ $y_2 = -c_1 e^x + c_2 \cos x + c_3 \sin x,$ $y_3 = c_2 \sin x - c_3 \cos x,$
kde $c_1,c_2, c_3$ sú ľubovoľné reálne čísla. $\clubsuit$

-

Príklad 31. Riešme nehomogénny diferenciálny systém:
$y_1^\prime = y_2+x^2,$ $y_2^\prime = y_1 + 2 e^x.$

Riešenie: Homogénny systém je tvaru: $y_1^\prime = y_2$, $y_2^\prime = y_1$.
Riešenie hľadáme v tvare $Y=(\alpha_1 e^{rx}, \alpha_2 e^{rx})$, kde $\alpha_1, \alpha_2$ sú reálne čísla a $r$ koreň charakteristickej rovnice tohoto systému. Po dosadení riešenia do rovníc systému a úprave máme:
$0 = -r\alpha_1 + \alpha_2$, $0= \alpha_1 - r \alpha_2$.
Tento systém algebraických rovníc s neznámymi $\alpha_1, \alpha_2$ má nenulové riešenie, len keď jeho determinant je nulový, teda:

$$r^2 -1 =0.$$

Jeho riešením sú dva reálne korene $r_1=1, \ r_2=-1.$ Pre každý z nich vypočítame neznáme $\alpha_1, \alpha_2$ z vyššie uvedeného algebraického systému. Máme:
Pre $r_1=1$ je $\alpha_1 = u, \alpha_2 =u$, kde $u \in \mathcal{R}$. Pre $r_2=-1$ je $\alpha_1 = u, \alpha_2 =-u$, kde $u \in \mathcal{R}$. Fundamentálny systém rovníc preto tvoria riešenia: (zvolíme $u=1$)

$$Y_1 = ( e^x, e^x),\quad Y_2 =(- e^{-x}, e^{-x}).$$

Nájdeme partikulárne riešenie nehomogénneho systému. Máme

$${ D= \left\vert \begin{array}{cc} e^x & -e^{-x} \\ e^x... ...e^x & x^2 \\ e^x & 2e^{x} \\ \end{array} \right\vert .}$$

Potom
$u_1 = e^x \int {\displaystyle\frac{x^2e^{-x}+2}{2}} \,dx -e^{-x} \int {\displaystyle \frac{2(e^x)^2 - x^2e^x}{2} }\,dx,$ $u_2 = e^{x} \int {\displaystyle \frac{x^2e^{-x}+2}{2}} \,dx +e^{-x} \int {\displaystyle\frac{2(e^x)^2 - x^2e^x}{2}} \,dx.$
Z toho teda je

$$U=\( \( x-\frac12\)e^x-2x,\( x+\frac12\)e^x-x^2-2\).$$

Všeobecné riešenie nehomogénneho systému je teda tvaru:
$y_1 = c_1 e^x- c_2 e^{-x} +(x-\frac12)e^x-2x$, $y_2 = c_1 e^x + c_2 e^{-x} +(x+\frac12) e^x -x^2 -2$,
kde $c_1, c_2 \in \mathcal{R}$. $\clubsuit$