ODR so separovateľnými premennými

Diferenciálnu rovnicu tvaru

$$p(x) +q(y) y' = 0,$$ (3.4)

kde $p(x),\ q(y)$ sú funkcie, nazývame ODR prvého rádu so separovanými premennými. ODR (3.4) sa často píše v tvare

$$p(x)dx +q(y) dy=0.$$ (3.5)

Veta 3..2   Nech je funkcia $p(x)$ spojitá na intervale $I$ a funkcia $q(y)$ spojitá na intervale $K$. Potom každé riešenie ODR (3.4) na intervale $I_1\subset I$ má tvar

$$\int p(x) \,dx+\int q(y) \,dy =c,$$ (3.6)

kde $c$ je ľubovoľná konštanta. Každá diferencovateľná funkcia na intervale $I_1$, ktorá je implicitne určená rovnicou (3.6), je riešením ODR (3.4) na intervale $I_1$.

Veta 3..3   Nech je funkcia $p(x)$ spojitá na intervale $(a,b)$ a $q(y)$ je zas spojitá na intervale $(c,d)$, pričom $q(y) \neq 0$ pre každé $y\in(c,d)$. Potom každým bodom oblasti $D=(a,b)\times (c,d)$ prechádza práve jedna integrálna krivka diferenciálnej rovnice (3.4).

Osobitným prípadom ODR (3.4) je rovnica typu

$$y'= f(x), \ x \in I \,.$$

Každé riešenie tejto ODR na intervale $I$ je tvaru

$$y = \int f(x) \,dx + c \,,$$

kde $c$ je ľubovoľná konštanta. Ak je funkcia $f$ spojitá na intervale $I$, potom podľa vyššie uvedených viet každým bodom $(x_0,y_0)$, kde $x_0 \in I$ a $y_0$ je ľubovoľné reálne číslo, prechádza jediné riešenie ODR tvaru

$$y=y_0 + \int_{x_0}^{x} f(t) dt.$$

-

Príklad 10. Nájdime riešenie diferenciálnej rovnice

$$y'= \frac{1}{x^2}\cos\( \frac{1}{x}\),$$

pre ktoré platí

$$y\( \frac{2}{\pi}\)=2.$$

Riešenie: V našom prípade je funkcia $f(x)= \frac{1}{x^2}\cos\frac{1}{x}$ spojitá na množine $(-\infty,0) \cup(0,\infty)$. Riešenie tejto diferenciálnej rovnice spolu s podmienkou $y(\frac{2}{\pi}) =2$ je tvaru

$$y = 2+\int_{\frac{2}{\pi}}^{x} \frac{1}{t^2}\cos\frac{1}{t}\,dt = 3-\sin\frac{1}{x}.$$

(Na výpočet integrálu sme použili substitúciu $\frac{1}{t} = v$.) $\clubsuit$

-

Príklad 11. Riešme diferenciálnu rovnicu

$$\frac{dy}{dx}=\frac{x}{y} \,.$$

Riešenie: Máme

$$\int y \,dy = \int x \,dx \,,$$

z toho po zintegrovaní a úprave oboch strán dostávame

$$y^2 = x^2 + 2c \,,$$

čo je všeobecné riešenie pre danú ODR. Na obrázku môžeme vidieť jednotlivé riešenia pre rôzne hodnoty $c$.

Obrázok: Riešenia rovnice $\frac{dy}{dx} = \frac xy$

$\clubsuit$

-

Príklad 12. Riešme ODR

$$\frac{dy}{dx}= -\frac{y}{x} \,.$$

Riešenie: Keďže ide opäť o rovnicu so separovanými premennými, jej všeobecné riešenie je tvaru

$$\int \frac{dy}{y}=-\int \frac{dx}{x} \,,$$

a teda

$$\ln y =-\ln x +c \quad \hbox{z čoho je}\quad \ln xy =c \,,$$

a preto

$$xy =a \quad (\hbox{kde } a = e^c).$$

Jednotlivé integrálne krivky teraz majú tvar, aký možno vidieť na obrázku 3.3

Obrázok: Riešenia rovnice $\frac{dy}{dx}= -\frac{y}{x}$

$\clubsuit$

Diferenciálnu rovnicu tvaru

$$p_1(x)p_2(y) + q_1(x) q_2(y) y' = 0 \,,$$ (3.7)

kde $p_1(x),\ q_1(x)$ sú spojité funkcie na intervale $(a,b)$, $p_2(y),\ q_2(y)$ sú spojité funkcie na intervale $(c,d)$, nazývame separovateľnou ODR prvého rádu. ODR (3.7) možno písať aj v tvare

$$p_1(x)p_2(y)dx +q_1(x)q_2(y) dy = 0 \,.$$ (3.8)

Ak $q_1(x)p_2(y) \neq 0$ na množine $I=(a,b)\times(c,d)$, dá sa diferenciálna rovnica (3.7) upraviť na rovnicu so separovanými premennými:

$$\frac{p_1(x)}{q_1(x)} + \frac{q_2(y)}{p_2(y)} y' =0,\ \ (x,y) \in I.$$

Ak $q_1(x)p_2(y) = 0$ na množine $I=(a,b)\times(c,d)$, potom ODR (3.7) nie je ekvivalentná s ODR (3.4) -

Príklad 13. Riešme ODR

$$y\cos x -y'\sin x = 0 \,.$$

Riešenie: Uvedená ODR je tvaru (3.7), kde $p_1(x)=\cos x$, $q_1(x)=-\sin x$, $p_2(y) =y$, $q_2(y)=1$. Pretože všetky funkcie sú spojité v $\mathcal{R}$, je $I=(-\infty,\infty)\times(-\infty,\infty)$. Rovnica $p_2(y)=y=0$ má jediný koreň $y = 0$. Rovnica $q_1(x)=0$ čiže $-\sin x=0$ má nekonečne mnoho riešení $x= k \pi$, $k$ je celé číslo. Priamky $y = 0$ a $x= k \pi$ rozdeľujú rovinu na nekonečne mnoho oblastí tvaru

$$I'_k =(k \pi, (k+1)\pi) \times (0,\infty)\,,$$

alebo

$$I''_k =(k\pi, (k+1)\pi) \times (-\infty,0) \,.$$

Na týchto čiastočných intervaloch je naša rovnica ekvivalentná s rovnicou

$$\frac{\cos x}{\sin x}-\frac{1}{y} y' = 0.$$

Toto je už ODR so separovanými premennými a jej riešenie je dané implicitne rovnicou

$$\ln\vert\sin x\vert - \ln\vert y\vert = c_1 \,,$$

kde $c_1$ je konštanta. Z toho potom

$$\left\vert\frac{\sin x}{y}\right\vert = e^{c_1} \,.$$

Ak položíme $e^{c_1} =\frac{1}{c_2}>0$, máme

$$\vert y\vert =c_2 \vert\sin x \vert.$$

Pre interval $I'_k$ dostaneme riešenia

$$y = c_2 \vert\sin x\vert \,,\quad c_2 > 0 \,.$$

Pre interval $I''_k$ dostaneme riešenia

$$y = -c_2\vert\sin x\vert \,,\quad c_2 > 0 \,.$$

Keďže $\lim_{x\rightarrow k\pi} y =0$, $\lim_{x\rightarrow k\pi} y' =\pm c_2$, riešenia sa dajú rozšíriť tak, aby v bodoch $k\pi$ mali deriváciu $c_2$. Ak vezmeme funkciu $y=c \sin x$, kde $c\neq 0$, $x\in (-\infty,\infty),$ táto spĺňa uvedené podmienky a zároveň je riešením ODR. Takýmto riešením je aj funkcia $y = 0$. Všetky riešenia ODR sú preto $y=c \sin x$, kde $c\in \mathcal{R}.$ $\clubsuit$

-

Príklad 14. Tekutina sa zohrieva v nádobe, ktorá má konštantnú teplotu $180^{\circ}$C. Predpokladá sa, že rýchlosť zvyšovania teploty tekutiny je úmerná $(180-\Theta)$, kde $\Theta\,{}^\circ$C je teplota tekutiny v čase $t$ minút. Ak sa teplota tekutiny zvýši z $0\,{}^{\circ}$C na $120\,{}^{\circ}$C za $5$ minút, nájdite teplotu tekutiny o ďalších $5$ minút.

Riešenie: Rýchlosť zvyšovania sa teploty je $\frac{d\Theta}{dt}$. Z úlohy vieme, že:

$$\frac{d\Theta}{dt} = k(180-\Theta)\,,$$

kde $k$ je konštanta. Toto je diferenciálna rovnica prvého rádu, ktorú vieme ľahko vypočítať.

$$\int \frac{-1}{180-\Theta} \,d\Theta = -\int k \,dt \,.$$

Pre $\Theta < 180$ máme:

$$\ln (180-\Theta) = -kt+c\,,$$

$$180-\Theta = A e^{-kt}, \quad\hbox{kde } A=e^c,$$

$$\Theta =180-Ae^{-kt}.$$ (3.9)

Ak $t=0$, je $\Theta=0$, potom $0=180-A$ a teda $A=180$. Preto $\Theta = 180(1-e^{-kt})$. Pretože $\Theta =120$ keď $t=5$, máme

$$120 =180(1-e^{-5k}) \quad\hbox{a teda } e^{-5k} = \frac{1}{3}.$$

Keď $t=10$, vtedy

$$\vbox{ \hbox{$\Theta = 180(1-e^{-10k})$\,,} \hbox{$\Th... ... = 180(1-(\frac{1}{3})^2)$\,,} \hbox{$\Theta = 160$\,.} }$$

Záver: teplota tekutiny o ďalších $5$ minút bude $160\,{}^{\circ}$C. $\clubsuit$

Poznámka. Existujú ešte aj iné typy diferenciálnych rovníc 1. rádu, napríklad homogénna alebo Bernoulliho, ktoré sa vhodnou substitúciou dajú previesť na separovateľné rovnice. Záujemcovi o tieto typy rovníc odporúčame napríklad knižku [4].