Diferenciálna rovnica prvého rádu

ODR 1. rádu je rovnica, v ktorej sa vyskytuje najviac prvá derivácia neznámej funkcie, napríklad:

$$xy + x^2 y'= \cos x \,.$$

Budeme skúmať ODR, ktorú možno vyjadriť v tvare

$$y' = f(x,y)\,.$$ (3.3)

Nech funkcia $f(x,y)$ je definovaná na oblasti $\Omega \subset \mathcal{R}^2$. Hovoríme, že funkcia $f(x,y)$ spĺňa na oblasti $\Omega$ Lipschitzovu podmienku vzhľadom na $y$ s konštantou $L$, ak pre každé dva body $(x,y), (x,\bar y)$ z $\Omega$ platí:

$$\vert f(x,y)-f(x,\bar y) \vert \leq L \vert y-\bar y\vert\,.$$

Takúto vlastnosť majú napríklad funkcie $f(x,y)$, ktoré majú na oblasti $\Omega$ ohraničenú parciálnu deriváciu podľa $y$ (pojem parciálna derivácia - viď kapitola o funkcii viac premenných týchto skrípt).

Veta 3..1   Nech je funkcia $f(x,y)$ definovaná na oblasti
$\Omega= (x_0-a,x_0+a) \times(y_0-b,y_0+b)$, (kde $a,b$ sú kladné reálne čísla) s vlastnosťami na celej $\Omega$:

• je spojitá,
• je ohraničená konštantou $K$,
• spĺňa Lispschitzovu podmienku vzhľadom na $y$.

Potom diferenciálna rovnica (3.3) má práve jedno riešenie $y=\varphi(x)$, ktoré prechádza bodom $A=(x_0, y_0)$, to jest $y_0=\varphi(x_0)$ a to na intervale $(x_0-c, x_0+c)$, kde $c=\min\{a, \frac{b}{K} \}$.

Poznámka. Riešenie $y=\varphi(x)$ dostaneme ako limitu postupnosti funkcií $\{ y_n(x) \}_{n=1}^{\infty}$, kde

$$y_n(x) = y_0 + \int_{x_0}^x f(t, y_{n-1}(t))\,dt \,, \qquad n=1,2,\dots$$

Funkciu $y_n(x)$ nazývame Picardovou aproximáciou.

-

Príklad 8. Daná je ODR $y^{\prime}=x+y$ a začiatočná podmienka $y(0)=0$. Vypočítajte približne $y(x)$ pomocou Picardových aproximácii.

Riešenie: Z formule pre výpočet Picardových aproximácií postupne dostávame

$$y_1(x) = 0+ \int_0^x(t+0)\,dt = \frac{x^2}{2} \,,$$

$$y_2(x) = 0 + \int_0^x(t+\frac{t^2}{2})\,dt = \frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3!} \,,$$

$$y_3(x) = 0 + \int_0^x(t+\frac{t^2}{2}+\frac{t^3}{3!})\,dt = \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} \,.$$

$n$-tá Picardova aproximácia je tvaru:

$$y_n = \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3!} + \dots + \frac{x^{n+1}}{(n+1)!} \,.$$

Z Taylorovho rozvoja funkcie $e^x$ (viď 1. diel skrípt, str. 166) vidíme, že limita postupnosti Picardových aproximácií je

$$y=\lim_{n \rightarrow \infty} y_n = e^x-1-x \,.$$

$\clubsuit$

Ak je funkcia $f(x,y)$ definovaná na oblasti $\Omega \subset \mathcal{R}$, kde sme zvolili pravouhlý súradnicový systém, tak diferenciálnou rovnicou $y^{\prime} =f(x,y)$ je ku každému bodu $(x,y) \in \Omega$ priradená smernica $y^{\prime}$ dotyčnice integrálnej krivky v bode $(x,y)$. Oblasť $\Omega$, ktorej každému bodu je uvedeným spôsobom priradená smernica, budeme nazývať smerovým poľom diferenciálnej rovnice $y^{\prime} =f(x,y)$.

Množinu všetkých bodov oblasti $\Omega$, ktorým je priradený ten istý smer, budeme nazývať izoklínou a rovnicu $f(x,y)=c$, kde $c$ je dané číslo, budeme nazývať rovnicou izoklíny.

-

Príklad 9. Znázornime smerové pole diferenciálnej rovnice $y'=x+y$.

Riešenie:

Funkcia $f(x,y)=x+y$ je definovaná v každom bode $\mathcal{R}^2$, teda smerové pole možno zostrojiť v celom tomto priestore. Smerové pole znázorníme pomocou izoklín. Rovnica izoklíny je $x+y=c$, kde $c$ je ľubovoľné číslo. V každom bode $(x_0,y_0)$ tejto izoklíny má dotyčnica k integrálnej krivke podľa diferenciálnej rovnice $y'=x+y$ smernicu $y^{\prime}(x_0)=\mbox{tg}\,\alpha =c$. Napríklad pre izoklínu $x+y=0$ je uhol $\alpha =0$, pre izoklínu $x+y=1$ je $\alpha=45$. Smerové pole danej rovnice je znázornené na obrázku 3.1.

Obrázok 3.1: Smerové pole rovnice $y'=x+y$

$\clubsuit$