Približné integrovanie funkcií

V mnohých prípadoch nemôžeme nájsť primitívnu funkciu $F(x)$ alebo je táto funkcia veľmi zložitá. Okrem toho v praxi môže byť funkcia $f(x)$ zadaná tabuľkou. Preto majú pre výpočet určitých integrálov veľký význam približné numerické metódy. Akúkoľvek metódu však môžeme použiť len vtedy, ak je funkcia $f(x)$ integrovateľná na danom intervale $\langle a,b \rangle$, kde $a<b$. Metódy numerického výpočtu hodnoty integrálu $\int_a^b f(x)\,dx$ sa zakladajú na tom, že sa funkcia $f(x)$ nahradí jednoduchšou, aproximujúcou funkciou $\varphi (x)$ (napr. polynómom) a potom sa približne kladie

$$\int_a^b f(x)\,dx \approx \int _a^b \varphi (x)\,dx.$$

V jednej z najjednoduchších metód sa krivka $f(x)$ nahradí na intervale $\langle a,b \rangle$ úsečkou priamky prechádzájúcej bodmi $[a,f(a)], [b,f(b)]$, t.j. polynómom 1. stupňa.

Obrázok 2.6: Lichobežníkový vzorec.

Plocha útvaru ohraničeného zhora $f(x)$ sa nahradí približne plochou útvaru ohraničeného zhora spomínanou úsečkou. Dostávame vzorec

$$\int_a^b f(x)dx \approx \frac{b-a}{2}(f(a)+f(b)),$$ (2.28)

známy pod menom lichobežníkový vzorec. Ak položíme

$$h={\displaystyle \frac{b-a}{n}}$$

a rozdelíme interval $\langle a,b \rangle$ pomocou ekvidistantných bodov

$$x_0=a, \quad x_i=x_0+ih \quad (i=1,2,\dots ,n-1), \quad x_n=b$$

na $n$ rovnakých častí, na každej z nich použijeme vzorec (2.28) a výsledky sčítame, dostaneme

$$\int _a^b f(x)dx={\displaystyle \frac{h}{2}} (f(x_0)+f(x_1))+... ...(x_2))+ \dots +{\displaystyle \frac{h}{2}} (f(x_{n-1})+f(x_n))$$

a po úprave všeobecný lichobežníkový vzorec

$$\int _a^b f(x)dx \approx {\displaystyle \frac{h}{2}} (f(x_0)+2f(x_1)+2f(x_2)+ \dots +2f(x_{n-1})+f(x_n)).$$ (2.29)

Pri inej často používanej metóde približného výpočtu hodnoty integrálu sa funkcia $f(x)$ nahradí polynómom 2. stupňa, ktorého grafom je parabola prechádzajúca troma bodmi $[a,f(a)], [(a+b)/2,f((a+b)/2)], [b,f(b)]$.

Obrázok 2.7: Simpsonov vzorec.

Po integrovaní takého polynómu dostávame vzorec

$$\int _a^b f(x)dx \approx \frac{b-a}{3}(f(a)+4f((a+b)/2)+f(b)),$$ (2.30)

známy pod menom Simpsonov vzorec. Nech $n=2m$ je párne čí slo. Ak položíme

$$h={\displaystyle \frac{b-a}{n}}={\displaystyle \frac{b-a}{2m}}$$

a rozdelíme interval $\langle a,b \rangle$ pomocou ekvidistantných bodov

$$x_0=a, \quad x_i=x_0+ih \quad (i=1,2,\dots ,2m-1), \quad x_{2m}=b$$

na $n=2m$ rovnakých častí, na každom z $m$ intervalov $<x_{2i}, x_{2i+2}>, i=0, 1, \dots , m-1$ použijeme vzorec (2.30) a výsledky sčítame, dostaneme po úprave všeobecný Simpsonov vzorec

$$\int _a^b f(x)dx \approx {\displaystyle \frac{h}{3}} (f(x_0)+4f(x_1)+2f(x_2)+4f(x_3) + \dots$$

$$\dots +2f(x_{2m-2})+4f(x_{2m-1})+f(x_{2m})).$$ (2.31)

Ak je funkcia $f(x)$ daná analyticky (nie tabuľkou), treba ešte odhadnúť chybu, s akou sme integrál vypočítali. Nepresnosť

$$R=\int _a^b f(x)dx - \frac{b-a}{2}(f(a)+f(b))$$

lichobežníkového vzorca (2.28) je

$$R= - (b-a)\frac{h^2}{12}f''(x^*),$$

kde $x^* \in \langle a, b\rangle$. Nepresnosť Simpsonovho vzorca (2.30) je

$$R= - (b-a)\frac{h^4}{180}f^{(4)}(x^*),$$

kde $x^* \in \langle a, b\rangle$. Vidíme teda, že výpočet hodnoty určitého integrálu podľa Simpsonovho vzorca je väčšinou presnejší. -

Príklad 1. Vypočítajme približnú hodnotu integrálu $\int _2^3 x/(1+x^2)dx$ podľa lichobežníkového vzorca (2.29) s $n=10$ a podľa Simpsonovho vzorca (2.31) s $n=2m=10$.

Riešenie: Budeme potrebovať tieto hodnoty $f(x)=x/(1+x^2)$:

$x$	$2,0$	$2,1$	$2,2$	$2,\ 3$	$2,4$	$2,5$	$2,6$
$f(x)$	$0,4$	$0,3882$	$0,3767$	$0,3657$	$0,3550$	$0,3448$	$0,3351$

$x$	$2,7$	$2,8$	$2,9$	$3,0$
$f(x)$	$0,3257$	$0,3167$	$0,3082$	$0,3$

Podľa lichobežníkového vzorca (2.29) dostaneme

$$\int_2^3 \frac{x}{1+x^2}dx \approx \frac{1}{20}(f(2)+2f(2,1)+2f(2,2)+ \dots +2f(2,9)+f(3) = 0,34661.$$

Podľa Simpsonovho vzorca (2.31) dostaneme

$$\int_2^3 \frac{x}{1+x^2}dx \approx \frac{1}{30}(f(2)+4f(2,1)+2f(2,2)+ \dots$$

$$\dots +2f(2,8)+4f(2,9)+f(3)=0,34658.$$

Presná hodnota integrálu je $0,34657$. $\clubsuit$