Neurčité integrály

$$\int \sin mx \cos nx\,dx, \qquad \int \sin mx \sin nx\,dx, \qquad \int \cos mx \cos nx\,dx$$

kde $m$ a $n$ sú prirodzené čísla prevedieme na jednoduché integrály pomocou trigonometrických vzťahov

$$\sin \alpha \sin \beta = \frac12 \left( \cos (\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta) \right),$$

$$\cos \alpha \cos \beta = \frac12 \left( \cos (\alpha - \beta) + \cos(\alpha + \beta) \right),$$

$$\sin \alpha \cos \beta = \frac12 \left( \sin (\alpha - \beta) + \sin(\alpha + \beta) \right).$$

-

Príklad 18. Vypočítame $\int \sin 2x \cos 5x\,dx$.

Riešenie: Použijeme vyššie uvedený vzorec pre $\alpha = 2x$ a $\beta = 5x$.

$$\int \sin 2x \cos 5x\,dx = \frac12 \int \left( \sin (-3x) + \sin 7x \right)\,dx =$$

$$= - \frac12 \int ( \sin 3x + \sin 7x )\,dx = \frac16 \cos 3x - \frac{1}{14} \cos 7x + c.$$

$\clubsuit$