Integrovanie trigonometrických funkcií

Pri integrovaní trigonometrických funkcií je väčšinou viac možností ako postupovať. Integrál z ľubovoľnej racionálnej funkcie z funkcií $\sin$ a $\cos$, t.j. funkcie obsahujúcej algebraické operácie (sčitanie, odčítanie, násobenie a delenie) a funkcie $\sin$ a $\cos$ (a teda aj $\mbox{tg}\,$ a $\mbox{cotg}\,$), môžeme pomocou substitúcie

$$t = \mbox{tg}\,\frac{x}{2},\qquad x \in (-\pi,\pi);$$

previesť na integrál z racionálnej funkcie. Postupujeme pritom tak, že vyjadríme inverznú funkciu, jej diferenciál $dx$ a tiež funkcie $\sin x$ a $\cos x$ s pomocou premennej $t$

$$x = 2 \mbox{arctg}\,t,\qquad dx = \frac{2\,dt}{1+t^2},\qqu... ...sin x = \frac{2t}{1+t^2},\qquad \cos x = \frac{1-t^2}{1+t^2}.$$

-

Príklad 16. Vypočítame $\int \frac{1+\mbox{tg}\,x}{1-\mbox{tg}\,x}\,dx$.

Riešenie: Skôr než začneme počítať, uvedomme si, že úlohu môžeme riešiť v ľubovoľnom intervale, v ktorom je integrovaná funkcia definovaná, t.j. v ľubovoľnom intervale $(-\frac{\pi}{2} + k\pi, \frac{3\pi}{4}) + k\pi$ alebo $(\frac{3\pi}{4} + k\pi, \frac{\pi}{2} + k\pi)$, $k \in {\mathcal Z}$. Integrál upravíme a prevedieme spomínanou substitúciou na integrál z racionálnej funkcie.

$$\int \frac{1+\mbox{tg}\,x}{1-\mbox{tg}\,x}\,dx = \int \f... ...}}\,dx = \int \frac{\cos x + \sin x}{\cos x - \sin x}\,dx =$$

$$\int \frac{\frac{1-t^2}{1+t^2} + \frac{2t}{1+t^2}} {\fra... ...} = \int \frac{2t^2 - 4t - 2}{(t^2 + 1)(t^2 + 2t - 1)}\,dt.$$

Rýdzo racionálnu funkciu v poslednom integrále rozložíme na súčet elementárnych zlomkov

$$\frac{2t^2 - 4t - 2}{(t^2 + 1)(t^2 + 2t - 1)} = \frac{2t}{t^2+1} - \frac{1}{t+1+\sqrt{2}} - \frac{1}{t+1-\sqrt{2}}$$

a tieto integrujeme.

$$\int \frac{2t^2 - 4t - 2}{(t^2 + 1)(t^2 + 2t - 1)}\,dt = ... ...nt \frac{dt}{t+1+\sqrt{2}} - \int \frac{dt}{t+1-\sqrt{2}} =$$

$$\ln (t^2+1) - \ln \vert t+1+\sqrt{2} \vert - \ln \vert t... ...vert = \ln \left\vert\frac{t^2+1}{t^2+2t-1}\right\vert + c.$$

Výpočet ukončíme spätnou substitúciou premennej $t$ na pôvodnú premennú $x$.

$$\int \frac{1+\mbox{tg}\,x}{1-\mbox{tg}\,x}\,dx = \ln \le... ...2 \frac{x}{2} + 2 \mbox{tg}\,\frac{x}{2} - 1}\right\vert + c.$$

Poznamenajme ešte, že tento výsledok platí v ľubovoľnom intervale, v ktorom je integrovaná funkcia definovaná. $\clubsuit$

Substitúciu

$$t = \mbox{tg}\,\frac{x}{2},\qquad x \in (-\pi,\pi)$$

je možné použiť pri integrále z ľubovoľnej racionálnej funkcie z funkcií $\sin x$ a $\cos x$, táto však vedie často ku integrálom z komplikovaných racionálnych funkcií a je možné ho v špeciálnych prípadoch zjednodušiť. Uvedieme tu niektoré možnosti a čitateľovi so záujmom o ďalšie odporúčame [1], [3], [4].
Často je možné použiť substitúciu

$$t = \mbox{tg}\,x, \qquad x \in \( -\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\),$$

potom

$$x = \mbox{arctg}\,t,\qquad dx = \frac{dt}{1+t^2},\qquad ... ...ac{t}{\sqrt{1+t^2}},\qquad \cos x = \frac{1}{\sqrt{1+t^2}}.$$

Táto substitúcia (ak je možné ju požiť) vedie väčšinou k integrálu z jednoduchšej racionálnej funkcie. Odporúčame čitateľovi vyriešiť predchádzajúci príklad pomocou substitúcie $t = \mbox{tg}\,x$.