Normálová a rektifikačná rovina krivky

Hlavná normála a binormála určujú normálovú rovinu ${\bf\nu}$. Táto rovina je kolmá na dotyčnicu krivky v konkrétnom bode a ležia v nej všetky normály. Dotyčnica a binormála určujú rovinu, ktorú budeme nazývať rektifikačná rovina ${\bf\mu}$. Keďže normálová rovina je kolmá na dotyčnicu, vektorová rovnica normálovej roviny je

$$({\bf r}-{\bf p}(t_0)) \cdot {\bf\dot p}(t_0)=0$$

alebo po zložkách

$$(x-x(t_0)) \dot x(t_0)+(y-y(t_0)) \dot y(t_0)+(z-z(t_0)) \dot z(t_0)=0.$$

Rektifikačná rovina je kolmá na hlavnú normálu, preto vektorová rovnica rektifikačnej roviny je

$$({\bf r}-{\bf p}(t_0)) \cdot (({\bf\dot p}(t_0) \times {\bf\ddot p}(t_0)) \times {\bf\dot p}(t_0))=0$$

alebo

$$\left\vert \begin{array}{ccc} x-x(t_0) & y-y(t_0) & z-z(t_... ...t_0) \\ \end{array} \right\vert \end{array} \right\vert=0.$$

-

Príklad 13. Určme rovnice normálovej a rektifikačnej roviny skrutkovice (5.4) vo všeobecnom bode a v bode $t=0$.

Riešenie: Vzhľadom na výsledky predchádzajúcich príkladov nebude ťažké zapísať rovnice hľadaných rovín. Normálová rovina vo všeobecnom bode $t$ má rovnicu

$$([x,y,z]-[r \cos t, r \sin t, ct]) \cdot [-r \sin t, r \cos t, c]=0$$

a po úprave

$$rx \sin t - ry \cos t - cz+c^2t=0.$$

Normálová rovina v bode $t=0$ má rovnicu

$$([x,y,z]-[r, 0,0]) \cdot [0, r, c]=0$$

a po úprave

$$ry+cz=0.$$

Rektifikačná rovina vo všeobecnom bode $t$ má rovnicu

$$([x,y,z]-[r \cos t, r \sin t, ct]) \cdot [\cos t, \sin t, 0]=0$$

a po úprave

$$x \cos t + y \sin t - r=0.$$

Rektifikačná rovina v bode $t=0$ má rovnicu

$$([x,y,z]-[r, 0,0]) \cdot [1, 0, 0]=0$$

a po úprave

$$x-r=0.$$

$\clubsuit$