1. Zistite a znázornite definičné obory nasledujúcich
funkcií:
2. Určte a popíšte definičné obory funkcií:
3. Pomocou znázornenia niekoľkých vrstevníc sa
pokúste načrtnúť grafy nasledujúcich funkcií:
4. Vypočítajte nasledujúce limity:
5. Pomocou výberu vhodných kriviek "približovania sa" k bodu ukážte, že nasledujúce limity
neexistujú:
6. Vypočítajte všetky prvé parciálne derivácie
funkcií uvedených nižšie:
7. K nasledujúcim funkciám nájdite štandardnú
lineárnu aproximáciu v danom bode :
8. S akou približnou hodnotou relatívnej chyby objemu kužeľa môžme počítať, ak relatívna chyba merania polomeru podstavy je 3 percená a výšky 2 percená?
9. Doba kmitu matematického kyvadla dĺžky je daná vzťahom . S akou približnou chybou je určená doba kmitu , ak dĺžka kyvadla je a gravitačná konštanta sú určené s absolútnymi chybami a ?
10. Ukážte, že každá z nasledujúcich funkcií
spĺňa Laplaceovu rovnicu
:
11. Ukážte, že pre ľubovoľné konštanty
funkcia
12. Pomocou reťazového pravidla ukážte, že (za predpokladu spojitosti parciálnych derivácií druhého rádu) ľubovoľná funkcia , kde je konštanta, spĺňa tzv. vlnovú rovnicu .
13. Použitím reťazového pravidla dokážte, že (za predpokladu spojitosti parciálnych derivácií druhého rádu) pre ľubovoľné funkcie jednej premennej a je funkcia riešením rovnice .
14. Pre nasledujúce funkcie vypočítajte ich gradient
vo všeobecnosti, a potom aj
deriváciu v danom bode v smere daného vektora
(pozor na nejednotkové vektory!):
15. Vypočítajte rovnice dotykových rovín ku daným
plochám v daných bodoch metódou gradientov alebo
metódou linearizácie:
16. Určte stacionárne body, lokálne extrémy a
sedlové body grafov nasledujúcich funkcií:
17. Vypočítajte všetky stacionárne
body, lokálne extrémy a sedlové body funkcií:
18. Lagrangeovou metódou určte najmenšiu a
najväčšiu hodnotu funkcie na krivke ,
ak:
19. Lagrangeovou metódou určte najmenšiu a
najväčšiu hodnotu funkcie na ploche
, ak:
20) Vypočítajte globálne extrémy nasledujúcich funkcií na daných dvojrozmerných útvaroch :
a) , je obdĺžnik s vrcholmi , , a .
b) , je obdĺžnik s vrcholmi , , a .
c) , je trojuholník s vrcholmi , a ;
d) , je trojuholník s vrcholmi , a ;
e) , je trojuholník s vrcholmi , a ;
f) , je kruh so stredom v počiatku a s polomerom .
g) , je kruh so stredom v počiatku a s polomerom .
h) , je kruh so stredom v počiatku a s polomerom .
21. Do pologule s polomerom vpíšte pravouhlý rovnobežnosten s najväčším a) objemom, b) povrchom.
22. Do kužeľa s polomerom a výškou vpíšte valec s najväčším a) objemom, b) povrchom.
23. Zo všetkých valcových nádob s daným povrchom nájdite takú, ktorá má najväčší objem.
24. Pomocou Lagrangeovej metódy nájdite vzdialenosť roviny od bodu .
25. Na ploche nájdite bod, ktorý je najbližšie ku počiatku súradnicovej sústavy.