Metóda per partes (integrovanie po častiach)

Táto metóda je odvodená zo vzťahu pre deriváciu súčinu funkcií a spočíva v nasledovnom:

Nech funkcie $u$ a $v$ majú derivácie v intervale $(a,b)$. Potom

$$\int u^{'}(x)v(x)\,dx = u(x)v(x) - \int u(x)v^{'}(x)\,dx$$ (1.6)

v intervale $(a,b)$.

Ako je vidieť, metóda sa používa na integrovanie súčinu funkcií. Jednu z nich zvolíme za $u'$, druhú za $v$ a výpočet daného integrálu prevedieme na výpočet iného integrálu. Pritom za funkciu $u(x)$ volíme ľubovoľnú (čo najjednoduchšiu) primitívnu funkciu k funkcii $u^{'}(x)$. -

Príklad 8. Vypočítame integrály

a) $\int xe^x\,dx$ b) $\int 2x^3 \ln x\,dx$ c) $\int 3x\cos 5x\,dx$.

Riešenie: a) Ide o integrál súčinu funkcií $y = x$ a $y = e^x$. Máme dve možnosti ako požiť metódu:

$$\begin{array}{llcll} u' = x & v = e^x & & u' = e^x & v = x \... ... u = \frac{x^2}{2} & v' = e^x & & u = e^x & v' = 1 \end{array}$$

Po dosadení do 1.6 dostaneme v prvej možnosti integrál $\int \frac{x^2}{2}e^x\,dx$, ktorý je ešte zložitejší ako pôvodný, použitím druhej možnosti dostaneme jednoduchý integrál $\int e^x\,dx$.

$$\int xe^x\,dx = \left\{ \begin{array}{cc} u' = e^x & v = x... ... e^x & v' = 1 \end{array} \right\} = xe^x - \int e^x.1\,dx =$$

$$= xe^x - e^x + c = (x-1)e^x + c.$$

b) Znova máme dve možnosti voľby:

$$\begin{array}{llcll} u' = 2 x^3 & v = \ln x & & u' = \ln x &... ...\frac{x^4}{2} & v' = \frac1x & & u = ? & v' = 6 x^2 \end{array}$$

Pri druhej možnosti je v tejto chvíli obtiažne vypočítať aj funkciu $u = \int \ln x\,dx$ (pre riešenie pozri poznámku na konci tejto časti a tiež Cvičenia), preto zvolíme prvú možnosť:

$$\int 2x^3 \ln x\,dx = \left\{ \begin{array}{cc} u' = 2 x^3... ...ht\} = \frac{x^4}{2} \ln x - \int \frac{x^4}{2} \frac1x\,dx =$$

$$= \frac{x^4}{2} \ln x - \frac12 \int x^3 \,dx = \frac{x^4}{2} \ln x - \frac{x^4}{8} + c.$$

c) Z dvoch možností zvolíme nasledovnú (odporúčame čitateľovi skúsiť druhú možnosť a porovnať):

$$\int 3x\cos 5x\,dx = \left\{ \begin{array}{cc} u' = \cos 5... ...ight\} = \frac35 x \sin 5 x - \int 3 \frac{\sin 5 x}{5}\,dx =$$

$$= \frac35 x \sin 5 x - \frac35 \int \sin 5 x\,dx = \frac35 x \sin 5 x + \frac{3}{25} \cos 5 x + c.$$

$\clubsuit$

Ako voliť funkcie $u'$ a $v$ v metóde per partes, ak chceme byť úspešní?

1. Nemal by byť problém vypočítať funkcie $u(x) = \int u'(x)\,dx$ a $v'(x)$.
2. Integrál $\int u(x)v'(x)\,dx$ by mal byť ľahší ako pôvodný integrál.

V ďalšom príklade odporúčame čitateľovi preveriť správnosť voľby funkcií $u'$ a $v$. -

Príklad 9. Vypočítame neurčité integrály

a) $\int x\ \mbox{arctg}\,x\,dx$ b) $\int 5x \cosh \frac x2\,dx$ c) $\int \arcsin x\,dx$ 


d) $\int (2x+\sqrt[3]{x})\ln x\,dx$ e) $\int (x^2+2x-1)\sin 3x\,dx$ f) $\int x^3 4^{-\frac{x}{2}}\,dx$ 


g) $\int e^{-x}\sin x\,dx$ h) $\int \cos x \sin 3x\,dx$ i) $\int \sin(\ln x)\,dx$.

Riešenie: a)

$$\int x\ \mbox{arctg}\,x\,dx = \left\{ \begin{array}{cc} u'... ...x^2}{2} \mbox{arctg}\,x - \frac12 \int \frac{x^2}{1+x^2}\,dx =$$

$$= \frac{x^2}{2} \mbox{arctg}\,x - \frac12 \int \frac{1+x^2... ... - \frac12 \left( \int 1\,dx - \int\frac{dx}{1+x^2} \right) =$$

$$= \frac{x^2}{2} \mbox{arctg}\,x - \frac12(x - \mbox{arctg}\... ... = \frac12 \left( (x^2 + 1)\, \mbox{arctg}\,x - x \right) + c.$$

b)

$$\int 5x \cosh \frac x2\,dx = \left\{ \begin{array}{cc} u' ... ...\ u = 2 \sinh \frac{x}{2} & v' = 5 \end{array} \right\} =$$

$$= 10 x\sinh \frac x2 - 10 \int \sinh \frac{x}{2}\,dx = 10 x\sinh \frac x2 - 20 \cosh \frac x2 + c.$$

c) V tomto príklade nejde o integrál súčinu, avšak integrovanú funkciu môžeme výhodne zapísať v tvare súčinu $\arcsin x = 1\cdot \arcsin x$! Pri počítaní obdržaného integrálu použijeme substitučnú metódu. Odporúčame čitateľovi premyslieť si detaily.

$$\int \arcsin x\,dx = \left\{ \begin{array}{cc} u' = 1 & v... ...\ u = x & v' = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \end{array} \right\} =$$

$$= x\arcsin x - \int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\,dx \stackrel{(t = 1 - x^2)}{=} x\arcsin x + \frac12 \int \frac{dt}{\sqrt{t}} =$$

$$= x\arcsin x + \sqrt{1-x^2} + c,\quad x \in (-1,1).$$

d)

$$\int (2x+\sqrt[3]{x})\ln x\,dx =\left\{ \begin{array}{cc} ... ...\frac{3 x^{\frac43}}{4} & v' = \frac1x \end{array} \right\} =$$

$$= \left(x^2 + \frac{3 x^{\frac43}}{4}\right)\ln x - \int \left( x^2 + \frac{3 x^{\frac43}}{4} \right) \frac1x\,dx =$$

$$= \left(x^2 + \frac{3 x^{\frac43}}{4}\right)\ln x - \int x\,dx - \frac34 \int x^{\frac13} =$$

$$= \left(x^2 + \frac{3 \sqrt[3]{x^4}}{4}\right)\ln x - \frac{x^2}{2} - \left( \frac34 \right)^2 \sqrt[3]{x^4} + c =$$

$$= x^2 \left(\ln x - \frac12 \right) + \frac34 \left( \ln x - \frac34 \right) \sqrt[3]{x^4} + c.$$

e) V tomto príklade budeme musieť použiť metódu per partes opakovane dvakrát.

$$\int (x^2+2x-1)\sin 3x\,dx = \left\{ \begin{array}{cc} u'... ... u = -\frac13 \cos 3 x & v' = 2 x + 2 \end{array} \right\} =$$

$$= -\frac13 (x^2+2x-1) \cos 3 x + \frac23 \int (x+1) \cos 3 x\ dx =$$

$$= \left\{ \begin{array}{cc} u' = \cos 3x & v = x+1 \\ u = \frac13 \sin 3 x & v' = 1 \end{array} \right\} =$$

$$= -\frac13 (x^2+2x-1) \cos 3 x + \frac23 \left(\frac13 (x+1) \sin 3 x - \frac13 \int \sin 3 x\,dx \right) =$$

$$= -\frac13 (x^2+2x-1) \cos 3 x + \frac23 \left(\frac13 (x+1) \sin 3 x + \left( \frac13 \right)^{2} \cos 3 x \right) + c =$$

$$= \left( -\frac{x^2}{3} - \frac{2 x}{3} + \frac{11}{27} \right) \cos 3 x + \frac{2}{9}(x + 1) \sin 3 x + c.$$

f) V tomto príklade musíme použiť metódu opakovane trikrát. Voľbu $u'$ a $v$ vyznačíme len prvýkrát a necháme na čitateľa doplnenie ďalších. Z technického hľadiska je výhodné prepísať funkciu $4^{-\frac{x}{2}} = \left( 4^{-\frac 12} \right) ^x = \left( \frac12 \right)^x$.

$$\int x^3 4^{-2x}\,dx = \int x^3 \left( \frac12 \right)^x\,dx... ...\left( \frac12 \right)^x & v' = 3 x^2 \end{array} \right\} =$$

$$= -\frac{x^3}{\ln 2} \left( \frac12 \right)^x + \frac{3}{\ln 2} \int x^2 \left( \frac12 \right)^x\,dx =$$

$$= -\frac{x^3}{\ln 2} \left( \frac12 \right)^x + \frac{3}{\... ...\frac{2}{\ln 2} \int x \left( \frac12 \right)^x\,dx \right) =$$

$$= -\frac{x^3}{\ln 2} \left( \frac12 \right)^x + \frac{3}{\... ...{1}{(\ln 2)^2} \left( \frac12 \right)^x \right) \right) + c =$$

$$=-\left( \frac12 \right)^x \left( \frac{x^3}{\ln 2} + \fra... ...2} + \frac{6 x}{(\ln 2)^3} + \frac{6}{(\ln 2)^4} \right) + c.$$

g) V tomto príklade použijeme metódu dvakrát, čo nám umožní vyjadriť hľadaný integrál pomocou neho samého. Z obdržanej rovnice ho potom vypočítame. Poznamenajme ešte, že v tomto príklade obidve voľby funkcií $u'$ a $v$ vedú k riešeniu.

$$\int e^{-x}\sin x\,dx = \left\{ \begin{array}{cc} u' = \s... ...} \end{array} \right\} = -e^{-x}\cos x - \int e^{-x}\cos x =$$

$$= \left\{ \begin{array}{cc} u' = \cos x & v = e^{-x} \\ ... ...os x - \left( e^{-x}\sin x + \int e^{-x} \sin x\,dx \right) =$$

$$= -e^{-x}(\cos x + \sin x) - \int e^{-x} \sin x\,dx.$$

Ak označíme hľadaný integrál symbolom $I = \int e^{-x} \sin x\,dx$, tak sme dostali rovnicu $I = -e^{-x}(\cos x + \sin x) - I$, z ktorej vypočítame

$$I = -\frac12 e^{-x}(\cos x + \sin x) + c.$$

h) Riešenie tohoto príkladu je podobné predchádzajúcemu.

$$\int \cos x \sin 3x\,dx = \left\{ \begin{array}{cc} u' = ... ...3 x \\ u = \sin x & v' = 3 \cos 3 x \end{array} \right\} =$$

$$= \sin x \sin 3 x - 3 \int \sin x \cos 3 x\,dx = \left\{ \b... ... x \\ u = -\cos x & v' = -3 \sin 3 x \end{array} \right\} =$$

$$= \sin x \sin 3x - 3(-\cos x \cos 3 x - 3 \int \cos x \sin 3 x\,dx).$$

Po úprave, pri označení $I = \int \cos x \sin 3x\,dx$, dostávame rovnicu
$I = \sin x \sin 3 x + 3 \cos x \cos 3 x + 9 I$, ktorej riešením je

$$I = -\frac18(\sin x \sin 3 x + 3 \cos x \cos 3 x) + c.$$

i)

$$\int \sin(\ln x)\,dx = \left\{ \begin{array}{cc} u' = 1 &... ...\\ u = x & v' = \cos(\ln x)\frac1x \end{array} \right\} =$$

$$= x\sin(\ln x) - \int \cos(\ln x)\,dx = \left\{ \begin{arra... ... \\ u = x & v' = -\sin(\ln x)\frac1x \end{array} \right\} =$$

$$= x\sin(\ln x) - \left( x \cos(\ln x) + \int \sin(\ln x)\,dx \right).$$

Po úprave, pri označení $I = \int \sin(\ln x)\,dx$, dostávame riešenie

$$I = \frac12 x \left( \sin(\ln x) - \cos(\ln x) \right) + c.$$

$\clubsuit$

Poznámka 4. Ako sme videli v častiach c) a i), metódu môžeme použiť aj vtedy, ak integrovaná funkcia nie je súčinom dvoch funkcií. Vtedy za druhý činiteľ považujeme konštantu $1$. Podobne sa riešia integrály

$$\int \ln x\,dx,\quad \int \mbox{arctg}\,x\,dx,\quad \int \mbox{arctg}\,x\,dx, \quad \int \arccos x\,dx.$$

V častiach g), h) a i) sme videli, že niekedy po použití metódy nedostaneme jednoduchší integrál, ale podobný pôvodnému. Po opakovanom použití metódy vyjadríme pôvodný integrál pomocou neho samého a z obdržanej rovnice ho vypočítame.
Záver:
Metódu integrovania per partes používame pri integáloch typu $\int P(x)f(x)\,dx$, kde $P(x)$ je mnohočlen (môže byť aj $P(x)=1$!), prípadne racionálna funkcia a $f$ je trigonometrická alebo transcendentná funkcia (exponenciálne, logaritmická, cyklometrická alebo hyperbolická). Pritom volíme:

1. $u' = f$ a $v = P$, ak $f$ je trigonometrická, exponenciálna alebo hyperbolická funkcia a postup opakujeme $n$- krát, kde $n$ je stupeň polynómu $P$.
2. $u' = P$ a $v = f$, ak $f$ je cyklometrická alebo logaritmická funkcia. Dostaneme tak integrál z racionálnej alebo iracionálnej funkcie. Pre ich výpočet pozri nasledujúcu časť.