Homogénne sústavy

Uvažujme teraz o homogénnej sústave $m$ lineárnych rovníc s $n$ neznámymi

$$a_{11}x_1 + \ldots \hspace{3mm} + a_{1n}x_n = 0$$

$$a_{21}x_1 + \ldots \hspace{3mm} + a_{2n}x_n = 0$$

$$\vdots \vdots \ \ \ \vdots$$ (4.6)

$$a_{m1}x_1 + \ldots \hspace{3mm} + a_{mn}x_n = 0.$$

Pri riešení homogénnych sústav spojíme postup použitý pri GEM ( a pri zisťovaní hodnosti matice) s tvrdeniami o počte riešení. Označme A odpovedajúcu maticu sústavy (4.6). Sústava (4.6) má vždy triviálne riešenie ${\bf r =}$ ${(0,0, \ldots ,0)^T}$.

$\bullet$ Nech $h({\bf A})=n$. Potom (4.6) má iba triviálne riešenie.

Príklad 13. Riešte sústavu rovníc

$$\begin{array}{rrrrrrrr} x_1 & + & 2x_2 & + & 3x_3 & = & 0 ... ... & \\ 2x_1 & + & 5x_2 & - & 7x_3 & = & 0 & . \\ \end{array}$$

Riešenie: Známymi úpravami sa dostaneme ku ekvivalentnej sústave

$$\begin{array}{rrrrrrrr} x_1 & + & 2x_2 & + & 3x_3 & = & 0 ... ..._3 & = & 0 & \\ & & & - & 134x_3 & = & 0 & . \\ \end{array}$$

Vidíme,že $h({\bf A})=3$, a teda sústava má iba triviálne riešenie. Spätná substitúcia nám iba potvrdí tento záver. $\clubsuit$

$\bullet$ Nech $h({\bf A}) =p < n$. Potom sústava (4.6) má nekonečne veľa riešení.
Postupom známym z GEM dospejeme ku ekvivalentnej sústave rovníc. Z nej je možné vybrať $p$ rovníc a v nich vybrať $p$ neznámych (nazývame ich hlavné neznáme) tak, že submatica z odpovedajúcich koeficientov má determinant rôzny od nuly. Tento výber však nemusí byť jednoznačný. Zvyšné rovnice neuvažujeme a zvyšných $(n-p)$ neznámych považujeme za parametre a dáme ich na pravú stranu takto vzniknutej sústavy. Dostali sme teda sústavu $p$ lineárnych rovníc s $p$ hlavnými neznámymi a $(n-p)$ parametrami. Z tejto sústavy vieme už jednoznačne určiť, v závislosti na parametroch, hlavné neznáme. Pritom zvyčajne postupujeme tak, že jeden parameter zvolíme rovný $1$ a ostatné $0$ a nájdeme odpovedajúce riešenie w. Takto skonštruujeme $(n-p)$, nutne lineárne nezávislých riešení pôvodnej sústavy:

$${ {\bf w^{(\it 1)}},{\bf w^{(\it 2)}}, \ldots , {\bf w^{(\it n-p)}} }$$

a pomocou nich všeobecné riešenie homogénnej sústavy v tvare

$$\sum _{i=1}^{n-p} \alpha_i \bf w^{(\it i)}.$$

Pritom $\alpha _i$ sú ľubovolné reálne čísla.
Platí, že pre každú voľbu $\alpha _i$ dostávame riešenie sústavy (4.6) a naopak, každé riešenie (4.6) sa dá vyjadriť ako lineárna kombinácia vektorov ${\bf w^{(\it i)}}$.

Príklad 14. Riešte homogénnu sústavu rovníc

$$\begin{array}{rrrrrrrrrr} 2x_1 & + & x_2 & - & 2x_3 & + & ... ..._1 & + & 3x_2 & + & 3x_3 & - & 3x_4 & = & 0 &. \\ \end{array}$$

Riešenie: Poslednú rovnicu vydelíme tromi a vymeníme ju s prvou rovnicou. Potom už ľahko dospejeme ku ekvivalentnej sústave rovníc

$$\begin{array}{rrrrrrrrrr} x_1 & + & x_2 & + & x_3 & - & x_... ...\ & - & x_2 & - & 4x_3 & + & 5x_4 & = & 0 &. \\ \end{array}$$

Vidno, že $h({\bf A}) =2 \equiv p < 4 \equiv n$.

Pri možnej voľbe $x_3 = s$ , $x_4 = t$ dostaneme sústavu dvoch rovníc s dvomi hlavnými neznámymi $x_1,x_2$ a parametrami $s,t$:

$$\begin{array}{rrrrrrrr} x_1 & + & x_2 & = & -s & + & t & \\ & - & x_2 & = & 4s &- & 5t &. \\ \end{array}$$

Pre $s=1, t=0$ je odpovedajúce riešenie

$${ {\bf w^{(\it 1)}} = (3,-4,1,0)^T }$$

a pre $s=0, t=1$ je odpovedajúce riešenie

$${ {\bf w^{(\it 2)}} = (-4,5,0,1)^T. }$$

Všeobecné riešenie homogénnej sústavy je teda tvaru

$${ {\alpha _1} {\bf w^{(\it 1)}} + {\alpha _2} {\bf w^{(... ... { {\alpha _1} (3,-4,1,0)^T + {\alpha _2} (-4,5,0,1)^T } }$$

pre $\alpha_1 ,\, \alpha_2 \in {\bf R}$.

Ak by sme si zvolili za hlavné premenné $x_1 , x_3$ a za parametre $x_2 , x_4$ (je to možné), tak dostaneme ekvivalentnú sústavu

$$\begin{array}{rrrrrrr} x_1 & + & x_3 & = & -s & + & t \\ & - & 4x_3 & = & s &- & 5t \\ \end{array}$$

a odpovedajúce všeobecné riešenie tej istej homogénnej sústavy by bolo tvaru

$${ {\beta _1} {\bf v^{(\it 1)}} + {\beta _2} {\bf v^{(\i... ...eta _1} (-1/4,0,5/4,1)^T + {\beta _2} (-3/4,1,-1/4,0)^T } }$$

pre $\beta_1 ,\, \beta_2 \in {\bf R}$.
Táto nejednoznačnosť všeobecného riešenia je daná tým, že vektory

$${ { \left( {\bf w^{(\it 1)}},{\bf w^{(\it 2)}} \right) \h... ...cm} \left( {\bf v^{(\it 1)}},{\bf v^{(\it 2)}} \right) } }$$

tvoria dve rôzne bázy toho istého lineárneho priestoru riešení pôvodnej sústavy.^4.1

$\clubsuit$

Na záver uvedieme užitočné tvrdenie. Ak v homogénnej sústave lineárnych rovníc je $m=n$, tak nutnou a postačujúcou podmienkou existencie nenulového (netriviálneho) riešenia je $\vert \bf A \vert =0$.