Realita riešenia sústav

Je podstatný rozdiel v tom, či riešime sústavu lineárnych rovníc, ktorá vznikla na základe istého reálneho problému alebo bola, tak ako je to v prípade doteraz uvádzaných sústav, určená len pre potreby ozrejmenia si niektorých metód na ich riešenie. V praxi sa často vyskytujú úlohy, v ktorých je potrebné riešiť také sústavy lineárnych rovníc, ktoré majú rádovo stovky neznámych. Preto efektívnosť algoritmu ich riešenia môžeme posudzovať aj podľa toho, koľko si vyžaduje aritmetických operácií. Z tohto hľadiska je Cramerovo pravidlo neefektívnou metódou. Tak isto, pokiaľ to nie je nutné, sa vyhýbame určovaniu inverznej matice. Význam Cramerovho pravidla a využitie inverznej matice je skôr v teoretických úvahách, v elegantnosti vyjadrenia riešenia. V prípade malého počtu neznámych (povedzme pre $n < 4$) je Cramerovo pravidlo a inverzná matica vhodnou metódou. Gaussovu eliminačnú metódu je možné zapisovať v takom tvare, ktorý dokáže identifikovať niektoré prípadné chyby riešiteľa, a teda je vhodný pre realizáciu GEM na kalkulačke. Všeobecne sa takýto postup doporučuje, ak nechceme alebo nemôžeme využívať výpočtovú techniku, pre $n \leq 10$. Časť súčasného software na riešenie sústav lineárnych rovníc je založená na Gaussovej eliminačnej metóde a jej početných modifikáciách. To ale znamená používať počitač na riešenie sústav lineárnych rovníc. Významným faktorom, ktorý dokáže ovplyniť efektívnosť metódy, je využitie špecifických vlastností matice sústavy (napríklad pásovosť alebo riedkosť matice). Tieto techniky však ďaleko presahujú rámec týchto skrípt. Efektívnosť algoritmu môžeme posudzovať aj podľa presnosti vypočítaného riešenia. V súčasnosti môže pôsobiť tento pojem zavádzajúco, a preto doporučujeme čitateľovi oboznámiť sa s ním v časti o numerických metódach riešenia sústav lineárnych rovníc.