Maticové rovnice

V časti o využití inverznej matice sme riešili aj úlohy typu AX=B pre vhodné definované matice A, X, B.

Ku takejto rovnici by sme sa dostali, ak by sme potrebovali riešiť istý počet sústav s jednou maticou sústavy, ale s rôznymi pravými stranami:

$\begin{displaymath} { {\bf Ax=b^{(\it 1)}},{\bf Ax=b^{(\it 2)}}, \ldots , {\bf Ax=b^{(\it k)}}. } \end{displaymath}$

Ak A je regulárna matica, tak prvá myšlienka by bola určiť ${\bf A^{-1}}$ a odpovedajúce riešenia dostať v tvare:

$\begin{displaymath} { {\bf r^{(\it l)} = A^{-1}b^{(\it l)}} \hspace {2cm} l=1,2, \ldots ,k }. \end{displaymath}$

Podrobná analýza však ukazuje, že je výhodnejšie použiť princíp GEM aj na takúto úlohu.

Zo stĺpcových vektorov ${\bf b^{(\it 1)}, \ldots ,\bf b^{(\it k)}}$ zostrojíme maticu

$\begin{displaymath} { {\bf B=(b^{(\it 1)} ,\dots , b^{(\it k)})} } \end{displaymath}$

zapísaním jednotlivých stĺpcov za sebou. Vhodne označíme neznáme a vytvoríme z nich maticu X. Dostaneme sa tak ku maticovej rovnici AX=B. Ďalej je výhodné postupovať tak, ako je uvedené v závere časti o GEM, t.j. pracovať iba s rozšírenou maticou sústavy ${(\bf A\vert B)}$ a využívať ekvivalentné úpravy G1, G2, G3. Nesmieme zabudnúť na to, že na pravej strane máme viacero stĺpcov, a preto treba každý z nich upravovať. Spätnou substitúciou, pričom berieme do úvahy odpovedajúce si stĺpce neznámych a pravých strán, dostaneme riešenie.

Príklad 12. Riešte sústavy rovnic ${\bf Ax=b^{(\it l)}}$ , ak

$\begin{displaymath} { {\bf A=} { \left( \begin{array}{rrr} 2 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 1 \\ \end{array} \right) } } \end{displaymath}$

pre vektory pravých stran

$\begin{displaymath} { { {\bf b^{(\it 1)}=}{(1,4,1)^T} } , { {\bf b^{(\it 2)}=}{(2,2,1)^T} }. } \end{displaymath}$

Riešenie: Ak označíme $x_{11}, x_{21}, x_{31}$ neznáme pre pravú stranu ${\bf b^{(\it 1)}}$ , $x_{12}, x_{22}, x_{32}$ neznáme pre pravú stranu ${\bf b^{(\it 2)}}$ a vytvoríme z nich maticu X :

$\begin{displaymath} { {\bf X =} { \left( \begin{array}{rr} x_{11} & x_{12} ... ...} & x_{22} \\ x_{31} & x_{32} \\ \end{array} \right) }, } \end{displaymath}$

tak máme riešiť maticovú rovnicu AX = B. Napíšte si ju! Po ``odstránení" neznámych dostaneme rozšírenú maticu tvaru:

$\begin{displaymath} \left( \begin{array}{rrr} 2 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 2 \\ 1... ...y}{rr} 1 & 2 \\ 4 & 2 \\ 1 & 1 \\ \end{array} \right). \end{displaymath}$

Známymi úpravami dospejeme ku matici tvaru:

$\begin{displaymath} \left( \begin{array}{rrr} 2 & 0 & -4 \\ 0 & 1/2 & 2 \\ ... ...} -6 & 0 \\ 7/2 & 1 \\ -3 & -1 \\ \end{array} \right). \end{displaymath}$

Ak by sme si zas ``pripísali" neznáme, tak od sústavy AX = B sme sa dostali ku sústave CX = D . Urobte tak! Matica C má vlastnosti požadované v GEM. Spätnou substitúciou, ak berieme do úvahy prvý stĺpec matice D, dostaneme

$\begin{displaymath} { { {\bf r^{(\it 1)}=}{(3,-5,3)^T} } } \end{displaymath}$

a ak berieme do úvahy druhý stĺpec matice D, konečne dostaneme

$\begin{displaymath} { { {\bf r^{(\it 2)}=}{(2,-2,1)^T} }. } \end{displaymath}$

Samozrejme, že sme mohli pokračovať až po redukovaný Gaussov tvar matice A a nebolo by potrebné robiť spätnú substitúciu. Z hľadiska počtu operácií to je však nevýhodné. $\clubsuit$

Na riešení maticovej rovnice AX = B, pre vhodnú voľbu matice B, je založená jedna z metód na určenie ${\bf A^{-1}}$ . Pre inverznú maticu (predpokladáme, že existuje) platí ${\bf A. A^{-1} = I_n}$ . Teda ${\bf B = I_n}$ . Aby sa nemusela robiť spätná substitúcia, je nutné upraviť maticu A na redukovaný Gaussov tvar. Potom už vedľa nej napísaná matica je inverznou maticou ku matici A. Príklad na takýto postup bol uvedený v časti 3.1.7 o určovaní inverznej matice.