Výpočet inverznej matice

Na výpočet inverznej matice (prípadne na vylúčenie jej existencie) možno použit' nasledujúci jednoduchý algoritmus (jeho zdôvodnenie bude neskôr jasné z kapitoly o riešení sústav lineárnych rovníc). Nech ${\bf A}$ je štvorcová matica typu $n\times n$. I1: Utvoríme maticu ${\bf C}$ typu $n\times 2n$ tak, že prvých $n$ stĺpcov bude tvorených maticou $\bf A$, a zvyšných $n$ stĺpcov bude tvorených jednotkovou maticou ${\bf I}_n$; symbolicky, ${\bf C}=[{\bf A}\vert{\bf I}_n]$. I2: Maticu $\bf C$ upravíme na redukovaný Gaussov tvar, ktorý označíme ${\bf C}'$. Ak prvých $n$ stĺpcov tejto novej matice ${\bf C}'$ nevytvára jednotkovú maticu, tak ku pôvodnej matici $\bf A$ neexistuje inverzná matica. V opačnom prípade platí: ${\bf C}'=[{\bf I}_n\vert{\bf A}^{-1}]$, t.j. zvyšných $n$ stĺpcov novej matice ${\bf C}'$ nám automaticky poskytne inverznú maticu.

Príklad 5. Vypočítajme inverznú maticu (ak vôbec existuje) k matici

$${\bf A}=\left( \begin{array}{rrr} 2 & -4 & 6 \\ 3 & -5 & 8 \\ -2 & 6 & -10 \end{array}\right)\ .$$

Riešenie: Podl'a kroku I1 utvoríme najprv maticu ${\bf C}=[{\bf A}\vert{\bf I}_n]$ pridaním jednotkovej matice ${\bf I}_3$ k matici $\bf A$. Túto novú maticu $\bf C$ typu $3\times 6$ potom podl'a I2 upravujeme na redukovaný Gaussov tvar tak ako v 3.1.4:

$${\bf C}=\left( \begin{array}{rrr} 2 & -4 & 6 \\ 3 & -5 & 8 ... ...=\frac12 R_1 \\ R'_2=R_2+(-3)R'_1 \\ R'_3=R_3+2R'_1 \end{array}$$

$$\cong \left( \begin{array}{rrr} 1 & -2 & 3 \\ 0 & 1 & -1 \\... ... \begin{array}{l} R'_3=R_3+(-2)R_2 \\ R'_1=R_1+2R_2 \end{array}$$

$$\cong \left( \begin{array}{rrr} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \\ ... ...=-\frac12 R_3 \\ R'_2=R_2+R'_3 \\ R'_1=R_1+(-1)R'_3 \end{array}$$

$$\cong \left( \begin{array}{rrr} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ ... ...2 & 2 & -1/2 \\ -2 & 1 & -1/2 \end{array}\right) = {\bf C}'\ .$$

Podl'a algoritmu platí: Ak v Gaussovom tvare ${\bf C}'$ v l'avej polovici vznikne jednotková matica, tak potom pravá polovica matice ${\bf C}'$ predstavuje inverznú maticu k pôvodnej matici $\bf A$. Teda ${\bf A}^{-1}$ existuje, a

$${\bf A}^{-1}=\left( \begin{array}{rrr} -1/2 & 1 & 1/2 \\ -7/2 & 2 & -1/2 \\ -2 & 1 & -1/2 \end{array}\right)\ .$$