Rovnice kužeľosečiek

Kružnica so stredom $S=[x_{0},y_{0}]$ a polomerom $r$ má rovnicu

$$(x-x_{0})^2+(y-y_{0})^2=r^2.$$ (2.16)

Elipsa so stredom $S=[x_{0},y_{0}]$ a polosami dĺžok $a$,$b$ má rovnicu

$$\frac{(x-x_{0})^2}{a^2}+\frac{(y-y_{0})^2}{b^2}=1.$$ (2.17)

Hyperbola so stredom $S=[x_{0},y_{0}]$ a poloosami dĺžok $a$,$b$ má rovnicu

$$\frac{(x-x_{0})^2}{a^2}-\frac{(y-y_{0})^2}{b^2} = 1,\quad \mathrm{ak\ je\ hlavná\ os\ v\ smere\ osi\ x}$$ (2.18)

$$\frac{(x-x_{0})^2}{a^2}-\frac{(y-y_{0})^2}{b^2} = -1,\quad \mathrm{ak\ je\ hlavná\ os\ v\ smere\ osi\ y.}$$ (2.19)

Parabola s vrcholom $V=[x_{0},y_{0}]$ a parametrom $p$ má rovnicu

$$(x-x_{0})^2 = 2p(y-y_{0}),\quad \mathrm{ak\ je\ os\ paraboly\ v\ smere\ osi\ y}$$ (2.20)

$$(y-y_{0})^2 = 2p(x-x_{0}),\quad \mathrm{ak\ je\ os\ paraboly\ v\ smere\ osi\ x.}$$ (2.21)

Príklad 12. Nájdeme všetky čísla $c$, pre ktoré bod $P[c,-4]$ leží na elipse s rovnicou $\frac{(x-3)^2}{4} + \frac{(y+2)^2}{9} = 1$. Pre ktoré čísla $d$ existuje bod so súradnicami $[c,d]$ na tejto elipse?

Riešenie: Dosadením súradníc bodu $P$ do rovnice elipsy dostaneme rovnicu pre neznámu hodnotu $c$

$$\frac{(c-3)^2}{4} + \frac{(-4+2)^2}{9} = 1$$

Po úprave

$$(c - 3)^2 = \frac{20}{9}$$

dostávame dve riešenia $c = 3 + \frac{2\sqrt{5}}{3}$ a $c = 3 - \frac{2\sqrt{5}}{3}$.
Pre číslo $d$ existuje na danej elipse bod so súradnicami $[c,d]$ práve vtedy, ak rovnica

$$\frac{(c-3)^2}{4} + \frac{(d+2)^2}{9} = 1$$

s neznámou $c$ má riešenie. Po podobnej úprave ako v prvej časti dostaneme

$$9(c-3)^2 = 36 - 4(d+2)^2$$

Táto rovnica má riešenie práve vtedy, ak je na pravej strane nezáporné číslo

$$36 - 4(d+2)^2 \ge 0.$$

Táto nerovnica platí práve vtedy, ak $(d+2)^2 \le 9$. Riešením poslednej nerovnice sú všetky čísla $d \in \langle -5,1 \rangle$.
Na druhú otázku môžeme nájsť odpoveď aj jednoduchším spôsobom, keď si uvedomíme, že stred danej elipsy je v bode $[3,-2]$ a dĺžka jej poloosi v smere osi $y$ je $3$. Preto $y$-ové súradnice všetkých bodov tejto elipsy sú v intervale $\langle -5,1 \rangle$. $\clubsuit$

Príklad 13. Nájdeme rovnicu paraboly s vrcholom $V[5,-2]$ prechádzajúcej bodom $P[2,3]$ s osou rovnobežnou s osou $x$. Nájdeme tiež na parabole bod súmerný s bodom $P$ podľa osi paraboly.

Riešenie: Do vzťahu 2.21 dosadíme za hodnoty $x_0$ a $y_0$ súradnice vrchola $V$ a za hodnoty $x$ a $y$ súradnice bodu $P$. Dostaneme tak rovnicu, ktorá určí parameter paraboly

$$(3 - (-2))^2 = 2 p (2 - 5)$$

s riešením $p = -\frac{25}{6}$. Hľadaná rovnica je

$$(y + 2)^2 = -\frac{25}{3}(x - 5).$$

Keďže os paraboly je rovnobežná s osou $x$, bod súmerne združený s bodom $P$ podľa osi paraboly má tú istú $x$-ovú súradnicu $2$ rovnako ako bod $P$. Jeho $y$-ovú súradnicu nájdeme ako riešenie rovnice

$$(y + 2)^2 = -\frac{25}{3}(2 - 5)$$

rôzne od čísla $3$, ktorým je číslo $-7$. Súmerný bod s bodom $P$ má súradnice $[2,-7]$. $\clubsuit$