Parametrické rovnice priamky

Ak poznáme jeden bod priamky $X_{0}$ a jej smerový vektor s, tak ľubovoľný bod $X$ leží na danej priamke práve vtedy, ak vektory $\vec{X- X_{0}}$ a s sú navzájom rovnobežné. Potom ale existuje reálne číslo t (jednoznačne určené bodom $X$), pre ktoré platí: $\vec{X - X_{0}}=t\vec{s}$. Ak túto rovnicu rozpíšeme v súradniciach, dostávame parametrické rovnice priamky:

$$x = x_{0} + s_{1} t;\quad y =y_{0} + s_{2} t,\quad t\in{\bf R}.$$ (2.12)

Číslo t sa volá parameter, $X_{0} = [x_{0},y_{0}]$ je niektorý bod priamky a $\vec{s}=[s_{1},s_{2}]$ je smerový vektor priamky. Parametrické rovnice tejto priamky sa tiež píšu vo vektorovom tvare

$$[x,y]=[x_{0}+s_{1}t,\;y_{0}+s_{2}t], \quad t\in{\bf R}.$$ (2.13)

Polpriamka určená bodom $X_{0} = [x_{0},y_{0}]$ a smerovým vektorom $\vec{s}=[s_{1},s_{2}]$ má parametrické rovnice

$$[x,y]=[x_{0}+s_{1}t,\;y_{0}+s_{2}t], \quad t\in \langle 0,\infty).$$ (2.14)

Úsečka $AB$, kde $A = [a_{1},a_{2}]$ a $B = [b_{1},b_{2}]$ má parametrické rovnice

$$[x,y]= [a_{1}+(b_{1}-a_{1})t,\; a_{2}+(b_{2}-a_{2})t], \quad t\in\langle 0,1\rangle.$$ (2.15)

Príklad 10. Napíšeme všeobecnú, smernicovú a parametrické rovnice priamky so smernicou $-\frac{1}{2}$ a prechádzajúcej bodom $P[3,-2]$.

Riešenie: Smernicová rovnica priamky má tvar $y = -\frac12 x + q$, pričom súradnice bodu $P$ ju spĺňajú

$$-2 = -\frac{1}{2}.3 + q, \quad \mbox{teda\ } q = -\frac12.$$

Hľadaná smernicová rovnica je $y = -\frac12 x -\frac12$. Keď v tejto rovnici prenesieme výraz na pravej strane na ľavú stranu, dostaneme rovnicu všeobecnú

$$\frac12 x + y + \frac12 = 0.$$

Ak chceme, aby koeficienty rovnice boli celé čísla, vynásobíme rovnicu číslom $2$

$$x + 2 y + 1 = 0.$$

Na určenie parametrických rovníc potrebujeme súradnice smerového vektora priamky, pričom z poslednej rovnice poznáme jej normálový vektor $\vec{n} = [1,2]$. Môžeme preto pracovať so smerovým vektorom $\vec{s} = [-2,1]$, ktorý spolu s bodom $P$ určí parametrické rovnice

$$[x,y]= [3 - 2 t,-2 + t].$$

$\clubsuit$

Príklad 11. Sú dané body $A[6,-1]$ a $B[-4,5]$. Napíšeme rovnicu úsečky $AB$ a nájdeme súradnice takého bodu $C$ na úsečke $AB$ aby platilo $d(A,C) = 2.d(B,C)$.

Riešenie: Parametrické rovnice úsečky sú

$$[x,y]= [6 - 10 t,-1 + 6 t],\quad t \in \langle 0,1 \rangle.$$

Bod $C$ leží v dvoch tretinách úsečky smerom od bodu $A$ k bodu $B$, preto jeho súradnice dostaneme pre hodnotu parametra $t = \frac23$ dosadením do parametrických rovníc. $C = [-\frac23,3]$. $\clubsuit$