Derivácia inverznej funkcie

Z pravidla pre deriváciu zloženej funkcie vyplýva pravidlo pre deriváciu inverznej funkcie.
Derivácia inverznej funkcie Nech funkcia $f$ je monotónna v intervale $(a,b)$ a pre každé $x \in (a,b)$ existuje $f'(x) \neq 0$. Potom

$$(f^{-1})'(x) = \frac{1}{f'(f^{-1}(x))}.$$

Príklad 8. Odvodíme pravidlo (2) v časti 2 pre deriváciu exponenciálnej funkcie z pravidla pre deriváciu logaritmickej funkcie.

Riešenie: Označme $f(x) = \log_a x$. Potom $f^{-1}(x) = a^x$ a pre deriváciu $f^{-1}$ platí

$$(a^x)' = \left( f^{-1}(x) \right)' = \frac{1}{f'(f^{-1}(x))}... ...=a^x]}} = \frac{1}{\frac{1}{t\ \ln a}}_{[t=a^x]} = a^x\ \ln a.$$

$\clubsuit$

Príklad 9. Odvodíme pravidlo (5) v časti 2 pre deriváciu funkcie $\arccos$ z pravidla pre deriváciu funkcie $\cos$.

Riešenie: Označme $f(x) = \cos x$. Potom inverzná funkcia (samozrejme v intervale $\langle -\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\rangle$) je $f^{-1}(x) = \arccos x$ a pre deriváciu $f^{-1}$ platí

$$(\arccos x)' = \left( f^{-1}(x) \right)' = \frac{1}{f'(f^{-1}(x))} = \frac{1}{(\cos t)'_{[t=\arccos x]}} =$$

$$\frac{1}{-\sin t}_{[t=\arccos x]} = -\frac{1}{\sin (\arccos ... ...1}{\sqrt{1 - \cos^2 (\arccos x)}} = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}.$$

$\clubsuit$