Logaritmické derivovanie

Nasledujúce pravidlo sa volá pravidlo o logaritmickom derivovaní.

$$f'(x) = f(x)(\ln f(x))',\quad \mbox{ak\ } f(x) > 0 \quad \mbox{a} \quad f'(x) \quad \mbox{existuje.}$$

Je to špeciálny prípad pravidla pre deriváciu zloženej funkcie a používa sa pre deriváciu funkcií, ktoré majú premennú v exponente, ale najmä funkcií, ktoré majú premennú aj v základe aj v exponente. Poznamenajme, že funkcie, ktoré majú neznámu len v základe, derivujeme podľa pravidla (1) v časti 2.

Príklad 10. Nájdeme deriváciu funkcie $y = x^{\frac{1}{x}}$.

Riešenie:

$$y' = y.(\ln y)' = x^{\frac{1}{x}}.\left( \frac{\ln x}{x} \right)' = x^{\frac{1}{x}}. \frac{\frac{1}{x}x - \ln x}{x^2} =$$

$$x^{\frac{1}{x}}. \frac{1 - \ln x}{x^2} = x^{\frac{1}{x} - 2}(1 - \ln x).$$

$\clubsuit$

Príklad 11. Odvodíme pravidlo $(1)$ v časti 2 pre deriváciu mocninovej funkcie z pravidla pre deriváciu logaritmickej funkcie.

Riešenie:

$$(x^a)' = x^a.(\ln\ x^a)' = x^a.(a\ln\ x)' = x^a.(\frac{a}{x}) = ax^{a-1}.$$

Použili sme skutočnosť, že definičným oborom mocninovej funkcie s reálnym exponentom je množina kladných reálnych čísel (kde?). $\clubsuit$