Derivácia zloženej funkcie

Ak poznáme derivácie zložiek, tak deriváciu zloženej funkcie môžeme vypočítať pomocou nasledujúceho pravidla:
Derivácia zloženej funkcie. Nech funkcia $y=f(x)$ má deriváciu v množine $M$ a funkcia $z=g(y)$ má deriváciu v obore hodnôt funkcie $f$. Potom aj zložená funkcia $g \circ f$ má v množine $M$ deriváciu a pre každé $x\in M$ platí

$$(g(f(x)))' = g'(f(x)).f'(x),$$

čo môžeme zapísať aj

$$\frac{dz}{dx} = \frac{dz}{dy}. \frac{dy}{dx}.$$

Posledný vzťah sa volá reťazové pravidlo.

Príklad 5. Vypočítame derivácie funkcií $y = \sin 2x$, $y = \left( x + \frac{1}{\sqrt{x}} \right)^{100}$,
$y = \arcsin \left( \frac{2x+3}{5-3x} \right)$, $y = 5^{\frac{4}{cotg\ x}}$.

Riešenie: V riešení budeme používať pravidlo o derivácii zloženej funkcie. Danú funkciu si najskôr rozložíme na zložky a potom postupujeme podľa pravidla od vonkajších zložiek ku vnútorným.

b )

Rozklad danej funkcie je

$$x\quad \stackrel{2x}{\longrightarrow}\quad 2x \quad \stackrel{\sin}{\longrightarrow}\quad \sin 2x.$$

Preto derivácia je

$$y'(x) = (\sin t)'_{[t=2x]}.(2x)' = 2\cos 2x.$$

c )

Rozklad danej funkcie je

$$x\quad \stackrel{x+\frac{1}{\sqrt{x}}}{\longrightarrow}\quad... ...ngrightarrow} \quad \left( x+\frac{1}{\sqrt{x}} \right)^{100}$$

a derivácia je

$$y'(x) = \left( (t)^{100} \right)'_{[t=x+\frac{1}{\sqrt{x}}]}... ...sqrt{x}} \right)^{99} \left( 1-\frac{1}{2\sqrt{x^3}} \right).$$

d )

Rozklad danej funkcie je

$$x\quad \stackrel{\frac{2x+3}{5-3x}}{\longrightarrow}\quad \... ...ongrightarrow} \quad \arcsin \left( \frac{2x+3}{5-3x} \right)$$

a derivácia je

$$y'(x) = (\arcsin t)'_{[t=\frac{2x+3}{5-3x}]}. \left( \frac{2x+3}{5-3x} \right)' =$$

$$= \frac{1}{\sqrt{1- \left( \frac{2x+3}{5-3x} \right)^2}}. \frac{2(5-3x) - (2x+3)(-3)}{(5-3x)^2} =$$

$$= \frac{19}{(5-3x)\sqrt{5x^2-42x+16}}.$$

e )

Rozklad danej funkcie je

$$x \quad \stackrel{cotg}{\longrightarrow} \quad cotg\ x \qua... ...ackrel{5^{(\ )}}{\longrightarrow} \quad 5^{\frac{4}{cotg\ x}}$$

a derivácia je

$$y'(x) = (5^u)'_{[u=\frac{4}{cotg\ x}]}. \left( \frac{4}{t} \right)'_{[t=cotg\ x]}. (cotg\ x)' =$$

$$5^{\frac{4}{cotg\ x}}.\ln 5\ \frac{-4}{cotg^2\ x}. \frac{-1}{\sin^2\ x} = \frac{4\ln 5}{\cos^2\ x}\ 5^{\frac{4}{cotg\ x}}.$$

$\clubsuit$

Príklad 6. Overíme platnosť vzťahu $(\cos x)' = -\sin x$ z časti 2.

Riešenie: V riešení použijeme deriváciu zloženej funkcie a goniometrické vzťahy

$$(\cos x)' = (\sin(x + \frac{\pi}{2}))' = \cos(x + \frac{\pi}{2}).1 = -\sin x.$$

$\clubsuit$

Príklad 7. Overíme platnosť vzťahu $(cotgh\ x)' = -\frac{1}{sinh^2\ x}$ z časti 2.

Riešenie:

$$(cotgh\ x)' = \left( \frac{e^x + e^{-x}}{e^x - e^{-x}} \righ... ...\frac{(e^x - e^{-x})^2 - (e^x + e^{-x})^2}{(e^x - e^{-x})^2} =$$

$$\frac{-4}{(e^x - e^{-x})^2} = \frac{1}{-\frac{(e^x - e^{-x})^2}{4}} = -\frac{1}{sinh^2\ x}.$$

$\clubsuit$