Objem telies

Všeobecný princíp pre výpočet objemu telesa pomocou integrálu je

Predpokladajme, že každá rovina $x = r,\quad r \in \langle a,b,\rangle$ má s daným telesom spoločnú oblasť s obsahom $s(r)$. Potom objem telesa v intervale $\langle a,b \rangle$ vypočítame integrálom

$$S~= \int\limits_a^b s(r)\,dr.$$ (2.20)

Z tohoto princípu dostávame:

Ojem rotačného telesa, ktoré vznikne rotáciou rovinnej oblasti ohraničenej grafom funkcie $f \geq 0$, (priamkami $x = a$, $x=b$) a osou $o_x$ v intervale $\langle a,b \rangle$ okolo osi $o_x$ vypočítame pomocou integrálu

$$V~= \pi \int\limits_a^b f^2(x)\,dx.$$ (2.21)

Objem rotačného telesa, ktoré vznikne rotáciou rovinnej oblasti ohraničenej grafmi funkcií $f \geq g \geq 0$ (a priamkami $x = a$, $x=b$) v intervale $\langle a,b \rangle$ okolo osi $o_x$ vypočítame pomocou integrálu

$$V~= \pi \int\limits_a^b (f^2(x) - g^2(x))\,dx.$$ (2.22)

Objem rotačného telesa, ktoré vznikne rotáciou oblasti ohraničenej uzavretou krivkou určenou parametrickými rovnicami 2.18, kde $\psi(t) \geq 0,\ t \in \langle \alpha,\beta \rangle$, okolo osi $o_x$ vypočítame pomocou integrálu

$$V~= \pi \vert\int\limits_{\alpha}^{\beta} \psi^2(t) \varphi'(t)\ dt\vert.$$ (2.23)

Poznamenajme, že na platnosť vzťahu je potrebná existencia derivácie funkcie $\varphi$ v intervale integrácie a odvodíme ho dosadením rovníc 2.18 do vzťahu 2.21.

-

Príklad 25. Vypočítame objem elipsoidu $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} = 1$.

Riešenie: Použijeme všeobecný princíp výpočtu objemu. Pre $r \in \langle -a,a \rangle$ rovina $x = r$ pretne elipsoid v elipse s rovnicou $\frac{y^2}{b^2\left( 1 - \frac{r^2}{a^2} \right)} + \frac{z^2}{c^2\left( 1 - \frac{r^2}{a^2} \right)} = 1$. Aplikáciou Príkladu 0 dostávame, že obsah tejto elipsy je

$$S(r) = \pi b \sqrt{1 - \frac{r^2}{a^2}} c \sqrt{1 - \frac{r^2}{a^2}} = \pi b c \left( 1 - \frac{r^2}{a^2} \right).$$

Preto

$$V~= \int\limits_{-a}^a \pi b c \left( 1 - \frac{r^2}{a^2} ... ...ft[ r - \frac{r^3}{3 a^2} \right]_{-a}^a = \frac43 \pi a~b c.$$

$\clubsuit$

-

Príklad 26. Overíme vzorec pre výpočet objemu kužeľa s polomerom podstavy $r$ a výškou $v$.

Riešenie: Kužeľ umiestnime vrcholom do začiatku súradnicovej sústavy tak, že jeho os splýva s osou $o_x$. Takto umiestnený kužeľ je vytvorený rotáciou priamky $y = \frac{r}{v} x$ okolo osi $o_x$ v intervale $\langle 0,v \rangle$. Použijeme vzťah (2.21).

$$V~= \pi \int\limits_0^v \left(\frac{r}{v} x\right)^2 \,dx =... ...ight)^2 \left[ \frac{x^3}{3} \right]_0^v = \frac13 \pi r^2 v.$$

Odporúčame čitateľovi vyriešiť tento príklad pomocou všeobecného princípu pre výpočet objemov. $\clubsuit$

-

Príklad 27. Vypočítame objem telesa, ktoré vznikne rotáciou oblasti ohraničenej krivkou $y^2 = (x-1)^3$ a priamkou $x = 2$ okolo osi $o_x$.

Riešenie: Ľavá strana rovnice definujúcej krivku je nezáporná. Z toho vyplýva, že $x \geq 1$ a preto interval integrácie bude $\langle 1,2 \rangle$. Naviac, krivka je symetrická podľa osi $o_x$, skladá sa totiž z grafov dvoch funkcií $y = (x-1)^{\frac32}$ a  $y = -(x-1)^{\frac32}$. Preto

$$V~= \pi \int\limits_1^2 (x-1)^3\,dx = \frac14 \pi.$$

$\clubsuit$

-

Príklad 28. Vypočítame objem telesa, ktoré vznikne rotáciou jedného oblúka cykloidy $x = a(t - \sin t),\ y = a(1 - \cos t),\quad t \in \langle 0,2\pi \rangle$ okolo osi $o_x$.

Riešenie: Použijeme vzťah (2.23).

$$V~= \pi \int\limits_0^{2 \pi} a~(1 - \cos t)^2 a~(1 - \cos ... ...i a^2 \int\limits_0^{2 \pi} (1 - \cos t)^2\,dt = 5 \pi^2 a^3.$$

$\clubsuit$