Sprievodný trojhran v prirodzenej parametrizácii

Predpokladajme, že regulárna krivka $k$ je daná vektorovou rovnicou (5.22), v ktorej parametrom je oblúk. Ako vieme z (5.23), ${\bf p'}(s)$ je pre každé $s \in I$ jednotkovým dotyčnicovým vektorom krivky $k$

$${\bf d_0}={\bf p'}(s).$$

Ďalej vieme, že vektory ${\bf p'}(s)$ a ${\bf p''}(s)$ sú rovnobežné s oskulačnou rovinou. Zo vzťahu (5.23) je zrejmé, že pre všetky $s \in I$ platí

$${\bf p'}(s) \cdot {\bf p'}(s)=1.$$

Derivujeme obe strany rovnice podľa $s$ a dostaneme

$${\bf p''}(s) \cdot {\bf p'}(s)+{\bf p'}(s) \cdot {\bf p''}(s)=0$$

a po úprave

$$2{\bf p'}(s) \cdot {\bf p''}(s)=0.$$

To však znamená, že v každom bode $P(s)$ krivky $k$ je vektor ${\bf p''}(s)$ buď nulový alebo nenulový a kolmý na dotyčnicový vektor ${\bf p'}(s)$. Ak predpokladáme druhú možnosť, pozorujeme, že nastane len vtedy, ak je vektor ${\bf p''}(s)$ rovnobežný s hlavnou normálou n krivky $k$. Potom jednotkový vektor hlavnej normály je

$${\bf n_0}=\frac{{\bf p''}(s)}{\vert {\bf p''}(s) \vert }.$$ (5.32)

Pomocou jednotkových vektorov ${\bf d_0}, {\bf n_0}$ zostrojíme jednotkový vektor binormály

$${\bf b_0}={\bf d_0} \times {\bf n_0}.$$

Vzťahy na výpočet hrán a stien sprievodného trojhranu sú v prirodzenej parametrizácii jednoduchšie. Dotyčnica krivky $k$ v bode $P(s_0)$ má parametrické rovnice

$$x=x(s_0)+\lambda x'(s_0), \qquad y=y(s_0)+\lambda y'(s_0), \qquad z=z(s_0)+\lambda z'(s_0).$$

Hlavná normála krivky $k$ v bode $P(s_0)$ má parametrické rovnice

$$x=x(s_0)+\lambda x''(s_0), \qquad y=y(s_0)+\lambda y''(s_0), \qquad z=z(s_0)+\lambda z''(s_0).$$

Binormála krivky $k$ v bode $P(s_0)$ má parametrické rovnice

$$x=x(s_0)+ \lambda \left\vert \begin{array}{cc} y'(s_0) & z'(s_0) \\ y''(s_0) & z''(s_0) \\ \end{array} \right\vert,$$

$$y=y(s_0)+ \lambda \left\vert \begin{array}{cc} z'(s_0) & x'(s_0) \\ z''(s_0) & x''(s_0) \\ \end{array} \right\vert,$$

$$z=z(s_0)+ \lambda \left\vert \begin{array}{cc} x'(s_0) & y'(s_0) \\ x''(s_0) & y''(s_0) \\ \end{array} \right\vert.$$

Normálová rovina krivky $k$ v bode $P(s_0)$ má rovnicu

$$(x-x(s_0)) x'(s_0)+(y-y(s_0)) y'(s_0)+(z-z(s_0)) z'(s_0)=0.$$

Rektifikačná rovina krivky $k$ v bode $P(s_0)$ má rovnicu

$$(x-x(s_0)) x''(s_0)+(y-y(s_0)) y''(s_0)+(z-z(s_0)) z''(s_0)=0.$$

Oskulačná rovina krivky $k$ v bode $P(s_0)$ má rovnicu

$$\left\vert \begin{array}{ccc} x-x(s_0) & y-y(s_0) & z-z(s_... ...''(s_0) & y''(s_0) & z''(s_0) \\ \end{array} \right\vert=0.$$