Gradient a derivácia v smere

Pojmy gradientu a derivácie v smere najprv vysvetlíme na funkciách dvoch premenných. Nech $f(x,y)$ je funkcia dvoch premenných, ktorá je na nejakej oblasti $M\subset {\cal R}^2$ spojitá spolu so svojimi parciálnymi deriváciami $f_x$ a $f_y$. Ako vieme, grafom takejto funkcie je plocha v trojrozmernom priestore, určená rovnicou $z=f(x,y)$. Nech $B=(x_0,y_0)$ je bod z oblasti $M$ a nech ${\bf u}=(u_1,u_2)=u_1{\bf i}+u_2{\bf j}$ je jednotkový vektor (t.j. vektor jednotkovej dĺžky). Priamka v rovine $xy$ určená bodom $B$ a vektorom $\bf u$ má parametrické vyjadrenie v tvare

$$x=x_0+s\cdot u_1, \ \ \ \ y=y_0+s\cdot u_2.$$ (4.8)

Touto priamkou teraz preložme rovinu $\sigma$ kolmú na súradnicovú rovinu $xy$. Rovina $\sigma$ pretne plochu $z=f(x,y)$ v akejsi krivke $C$. Rovnicu krivky $C$ v parametrickom tvare (t.j. ako funkciu premennej $s$) dostaneme jednoducho dosadením vzťahov (4.8) do rovnice plochy, teda krivka $C$ má rovnicu $z=f(x_0+su_1,y_0+su_2)$. Naším cieľom je výpočet smernice dotyčnice ku krivke $C$ v rovine $\sigma$ pre $s=0$, t.j. v bode $B=(x_0,y_0)$.

Dá sa ľahko nahliadnuť, že hľadaná smernica dotyčnice nie je nič iné ako derivácia $df/ds$ v bode $s=0$. (Zdôvodnite podrobne; ako je pritom využitý fakt, že vektor $\bf u$ je jednotkový ?). Keďže ide o zloženú funkciu (premenné $x,\ y$ teraz závisia od $s$), na výpočet derivácie $df/ds$ použijeme časť 1 reťazového pravidla z predchádzajúcej podkapitoly, spolu s deriváciami výrazov (4.8):

$$\Big(\frac{df}{ds}\Big)_{s=0}= \Big(\frac{\partial f}{\partia... ...Big(\frac{\partial f}{\partial y}\Big)_B{\cdot}\frac{dy}{ds} =$$

$$= \Big(\frac{\partial f}{\partial x}\Big)_B{\cdot}u_1 + \Big(\frac{\partial f}{\partial y}\Big)_B{\cdot}u_2\ .$$

Výraz vpravo je vlastne skalárnym súčinom vektora ${\bf u}=(u_1,u_2)=u_1{\bf i}+u_2{\bf j}$ s vektorom
$((\partial f/\partial x)_B,(\partial f/\partial y)_B)= (\partial f/\partial x)_B{\bf i}+(\partial f/\partial y)_B{\bf j}$. Tak sa dostávame k nasledujúcim dôležitým faktom.

Definícia gradientu a výpočet derivácie v smere. Pod gradientom funkcie $f(x,y)$ rozumieme dvojrozmerný vektor, ktorého súradnice sú parciálne derivácie funkcie $f$ podľa $x$ a $y$ (v tomto poradí). Tento vektor je zvykom označovať symbolom $\nabla f$ (čítaj "nabla ef"); gradient funkcie $f$ je teda vektor

$$\nabla f = (f_x,f_y)=f_x{\bf i}+f_y{\bf j}\ .$$ (4.9)

Číslo $(df/ds)_{s=0}$ nazývame deriváciou funkcie $f$ v bode $B=(x_0,y_0)$ v smere jednotkového vektora ${\bf u}=(u_1,u_2)$; označujeme ju symbolom $D_{\bf u}f(B)$. Podľa výpočtu v predchádzajúcom odstavci je táto derivácia v smere daná skalárnym súčinom gradientu v bode $B$ s vektorom $\bf u$, čo v rôznych ekvivalentných formách môžme za písať nasledovne:

$$D_{\bf u}f(B)=(\nabla f)_B{\cdot} {\bf u}= \Big(\frac{\partia... ...artial f}{\partial y}\Big)_B\cdot u_2 =f_x(B)u_1 + f_y(B)u_2\ .$$

V praxi pri funkcii dvoch premenných často potrebujeme stanoviť rýchlosť zmeny funkčných hodnôt v okolí nejakého bodu, a to v smere danom nejakým jednotkovým vektorom. Ako je vidieť, táto rýchlosť zmeny je presne hodnota derivácie v smere daného vektora (v danom bode).^4.2 V tejto súvislosti má významnú geometrickú a fyzikálnu interpretáciu samotný gradient: Hodnota gradientu v bode $B$ je totiž vektor vyjadrujúci smer najstrmšieho rastu funkcie $f$ z bodu $B$.

-

Príklad 1. Vypočítajte vektor, v smere ktorého funkcia $f(x,y)=4x^2+y^2$ rastie najstrmšie v okolí bodu $(-1,2)$.

Riešenie: Smer najstrmšieho rastu je daný hodnotou gradientu $\nabla f$ v bode $(-1,2)$, čiže vektorom

$$\nabla{f}_{(-1,2)}=(f_x,f_y)_{(-1,2)}=(8x,2y)_{(-1,2)} =(-8,4)=-8{\bf i}+4{\bf j}\ .$$

Funkcia $f$ teda v okolí bodu $(-1,2)$ najviac rastie v smere vektora $-8{\bf i}+4{\bf j}$, čo je to isté ako v smere vektora $-2{\bf i}+{\bf j}$. $\clubsuit$

-

Príklad 2. Vypočítajte deriváciu funkcie $g(x,y)=x(1+y^2)-2e^y\cos{x}$ v bode $(\pi,0)$ v smere vektora ${\bf v}=4{\bf i}-3{\bf j}$.

Riešenie: Predovšetkým z vektora $\bf v$ musíme vytvorť príslušný jednotkový vektor $\bf u$, a to tak, že súradnice vektora $\bf v$ vynásobíme prevrátenou hodnotou jeho dĺžky. Keďže dĺžka vektora $\bf v$ je $\vert{\bf v}\vert=\sqrt{4^2+(-3)^2}=5$, príslušný jednotkový vektor je ${\bf u}=\frac{1}{\vert{\bf v}\vert}{\bf v}= \frac{4}{5}{\bf i}-\frac{3}{5}{\bf j}$. Ďalej si potrebujeme vypočítať hodnotu gradientu funkcie $g$ v bode $B=(\pi,0)$:

$$\nabla g_{B}= \Big(\frac{\partial g}{\partial x}\Big)_B{\bf i... ...in{x})_B{\bf i}+(2xy-2e^y\cos{x})_B{\bf j}= {\bf i}+2{\bf j}\ .$$

Podľa vzorca pre výpočet derivácie v smere napokon máme:

$$D_{\bf u}g(\pi,0)=\nabla g_B\cdot {\bf u}= ({\bf i}+2{\bf j})... ...bf j})= 1\cdot \frac{4}{5}+2\cdot(-\frac{3}{5})=-\frac{2}{5}\ .$$

$\clubsuit$

Gradient, vrstevnice a ich dotyčnice. Ďalšia dôležitá geometrická vlastnosť gradientu súvisí s vrstevnicami, t.j. krivkami v rovine $xy$, ktoré sú dané rovnicami typu $f(x,y)=c$:

Ak bod $B=(x_0,y_0)$ je bodom vrstevnice $f(x,y)=c$, tak gradient $\nabla f_B$ je normálový vektor k danej vrstevnici v bode $B$, t.j. vektor kolmý na dotyčnicu k danej vrstevnici v bode $B$.

Z toho ihneď vyplýva, že rovnica dotyčnice (v rovine $xy$) ku vrstevnici $f(x,y)=c$ v bode $B=(x_0,y_0)$ je daná skalárnym súčinom gradientu a vektora $(x-x_0,y-y_0)$, teda

$$\nabla f_B\cdot (x-x_0,y-y_0)=0\ ;$$

alebo v rozpísanej forme,

$$f_x(B)(x-x_0) + f_y(B)(y-y_0)=0\ .$$ (4.10)

-

Príklad 3. Vypočítajte rovnicu dotyčnice ku hyperbole $9y^2-2x^2=1$ v bode $(2,-1)$.

Riešenie: Danú hyperbolu budeme považovať za vrstevnicu funkcie $f(x,y)=9y^2-2x^2$ zodpovedajúcu výške $c=1$. Pre hodnoty parciálnych derivácií v bode $B=(2,-1)$ máme $f_x(B)=(-4x)_B=-8$, a $f_y(B)=(18y)_B=-18$. Podľa vzťahu (4.10) pre hľadanú rovnicu dotyčnice dostávame:

$$-8(x-2)-18(y-(-1))=0\ ,\ \ {\rm teda}\ \ \ 4x+9y+1=0\ .$$

Všimnite si, že hodnota $c=1$ pri samotnom počítaní nehrala žiadnu rolu. Napriek tomu, získaný výsledok nie je správny pre $c\ne 1$; vysvetlite! $\clubsuit$

Funkcie troch premenných. Uvedené fakty o gradiente a derivácii v smere sa ľahko zovšeobecnia pre funkcie troch (a aj viac) premenných. Ak $f=f(x,y,z)$ je funkcia troch premenných so spojitými parciálnymi deriváciami na nejakej trojrozmernej oblasti $M$, tak pod gradientom funkcie $f$ na tejto oblasti rozumieme vektor

$$\nabla f=(f_x,f_y,f_z)=f_x{\bf i}+f_y{\bf j}+f_z{\bf k}\ .$$ (4.11)

Ak ${\bf u}=(u_1,u_2,u_3)=u_1{\bf i}+u_2{\bf j}+u_3{\bf k}$ je jednotkový vektor, tak derivácia funkcie $f$ v bode $B\in M$ v smere vektora $\bf u$ je číslo označované $D_{\bf u}f(B)$ a dané skalárnym súčinom

$$D_{\bf u}f(B)=\nabla f_B\cdot {\bf u}=f_x(B)u_1+f_y(B)u_2+f_z(B)u_3\ .$$ (4.12)

Podobným spôsobom sa dajú zovšeobecniť aj geometrické fakty súvisiace s gradientom, len je všetky pojmy potrebné transformovať o jednu dimenziu vyššie:

Ak bod $B=(x_0,y_0,z_0)$ je bodom vrstvovej plochy $f(x,y,z)=c$, tak gradient $\nabla f_B$ je normálový vektor k danej vrstvovej ploche v bode $B$, t.j. vektor kolmý na dotykovú rovinu k danej vrstvovej ploche v bode $B$.

Odtiaľ vyplýva, že rovnica dotykovej roviny ku vrstvovej ploche $f(x,y,z)=c$ v bode $B=(x_0,y_0,z_0)$ je daná skalárnym súčinom gradientu a vektora $(x-x_0,y-y_0,z-z_0)$, teda

$$\nabla f_B\cdot (x-x_0,y-y_0,z-z_0)=0\ ;$$

čo v rozpísanej forme dáva rovnicu

$$f_x(B)(x-x_0) + f_y(B)(y-y_0)+f_z(B)(z-z_0)=0\ .$$ (4.13)

-

Príklad 4. Vypočítajme hodnotu derivácie funkcie $h(x,y,z)=z-x^2-y^2$ v bode $B=(-2,1,9)$ v smere vektora $v=2{\bf i} -{\bf j}+2{\bf k}$.

Riešenie: Najprv vytvoríme jednotkový vektor $\bf u$ prislúchajúci k vektoru $\bf v$; pretože $\vert{\bf v}\vert=\sqrt{2^2 +(-1)^2+2^2}$ $=3$, tak ${\bf u}=\frac{2}{3}{\bf i}-\frac{1}{3}{\bf j} +\frac{2}{3}{\bf k}$. Vektor gradientu v bode $B$ nájdeme pomocou vzorca (4.11) a dosadenia súradníc bodu $B$:

$$\nabla h_B=h_x(B){\bf i}+h_y(B){\bf j}+h_z(B){\bf k} =4{\bf i}-2{\bf j}+{\bf k}\ .$$

Po dosadení do (4.12) dostávame pre hľadanú hodnotu derivácie v smere výsledok

$$D_{\bf u}h(B)=\nabla h_B\cdot {\bf u}=4\cdot\frac{2}{3} +2\cdot\frac{1}{3}+\frac{2}{3}= 4\ .$$

$\clubsuit$

-

Príklad 5. Nájdite rovnicu dotykovej roviny ku ploche jednodielneho hyperboloidu $x^2+2y^2-z^2=-1$ v bode $B=(1,-1,2)$.

Riešenie: Danú plochu považujeme za vrstvovú plochu funkcie $f(x,y,z)=x^2+2y^2-z^2$ pre hodnotu $c=-1$; dotyková rovina je potom určená vzorčekom (4.13). Pre súradnice gradientu (čiže normálového vektora) máme: $f_x(B)=(2x)_B=2$, $f_y(B)=(4y)_B=-4$, a $f_z(B)=(-2z)_B=-4$. Dosadením do (4.13) dostaneme hľadanú rovnicu dotykovej roviny:

$$2(x-1)-4(y-(-1))-4(z-2)=0,\ \ {\rm alebo}\ \ \ x-2y-2z+1=0\ .$$

$\clubsuit$

Poznámka. Na určenie dotykovej roviny máme zatiaľ dva prostriedky: Práve uvedenú gradientovú metódu vedúcu k formulke (4.13), a metódu linearizácie z podkapitoly 4.2.2, čiže vzorček (4.3). Odporúčame čitateľovi, aby si touto druhou metódou overil výsledok získaný v predchádzajúcom príklade.