Linearizácia, dotyková rovina a diferenciál

V praxi (najmä v geometrických a numerických aproximáciách) veľmi dôležitú úlohu zohráva lokálne nahradzovanie funkcií lineárnymi funkciami. To vedie k zavedeniu nasledujúcich dôležitých pojmov.

Definícia linearizácie. Nech funkcia $f(x,y)$ má parciálne derivácie podľa oboch premenných spojité v bode $(x_0,y_0)$. Pod linearizáciou funkcie $f$ v bode $(x_0,y_0)$ rozumieme funkciu $L(x,y)$ danú predpisom

$$L(x,y)=f(x_0,y_0)+ f_x(x_0,y_0){\cdot}(x-x_0)+f_y(x_0,y_0){\cdot}(y-y_0)$$ (4.1)

Približnú rovnosť

$$f(x,y)\ \dot =\ L(x,y)$$ (4.2)

nazývame štandardnou lineárnou aproximáciou funkcie $f$ v okolí bodu $(x_0,y_0)$.

Je dôležité uvedomiť si, že $L(x,y)$ je naozaj lineárna funkcia. Aproximácia $f(x,y)\dot = L(x,y)$ v okolí bodu $(x_0,y_0)$ teda hovorí, že aj komplikované funkcie možno lokálne nahradzovať lineárnymi funkciami. Otázkou presnosti takejto aproximácie sa budeme zaoberať na inom mieste.

-

Príklad 1. Nájdite linearizáciu funkcie $f(x,y)=e^{-(x^2+y^2)}$ v bode $(\frac{1}{2},-\frac{1}{2})$, ako aj jej štandardnú lineárnu aproximáciu v tomto bode.

Riešenie: Vypočítame najprv parciálne derivácie v bode $(x_0,y_0)=(\frac{1}{2},-\frac{1}{2})$:

$$f_x(x_0,y_0)=\Big(\frac{d}{dx}e^{-(x^2+y^2)}\Big)_{(x_0,y_0)}... ...-(x^2+y^2)}{\cdot}(-2x)\big)_{(x_0,y_0)}=-\frac{1}{\sqrt{e}}\ ,$$

$$f_y(x_0,y_0)=\Big(\frac{d}{dy}e^{-(x^2+y^2)}\Big)_{(x_0,y_0)}... ...-(x^2+y^2)}{\cdot}(-2y)\big)_{(x_0,y_0)}=+\frac{1}{\sqrt{e}}\ .$$

Keďže $f(x_0,y_0)=1/\sqrt{e}$, dosadením do vzťahu (4.1) pre linearizáciu našej funkcie v okolí bodu $(x_0,y_0)$ dostávame:

$$L(x,y) = \frac{1}{\sqrt{e}}+\( -\frac{1}{\sqrt{e}}\)\( x-\frac{1}{2}\)+\frac{1}{\sqrt{e}}\( y-\( -\frac{1}{2}\)\)\ ,$$

a po úprave,

$$L(x,y)=\frac{1}{\sqrt{e}}\big(2-x+y\big)\ .$$

Pre štandardnú lineárnu aproximáciu $f(x,y)\dot = L(x,y)$ v uvedenom bode napokon máme:

$$e^{-(x^2+y^2)}\ \dot =\ \frac{1}{\sqrt{e}}\big(2-x+y\big)\ .$$

Vidíme, že pôvodná funkcia je v okolí bodu $(1/2,-1/2)$ naozaj nahradená lineárnou funkciou. $\clubsuit$

Dotyková rovina ku grafu funkcie. Geometrická interpretácia pojmu štandardnej lineárnej aproximácie funkcie $f(x,y)$ v bode $(x_0,y_0)$ je jednoduchá: Funkcia $z=L(x,y)$, teda,

$$z=f(x_0,y_0)+ f_x(x_0,y_0){\cdot}(x-x_0)+f_y(x_0,y_0){\cdot}(y-y_0)\ ,$$ (4.3)

predstavuje rovnicu dotykovej roviny k ploche $z=f(x,y)$ v bode $(x_0,y_0)$. Štandardná lineárna aproximácia je teda z geometrického hľadiska nahradením plochy $z=f(x,y)$ dotykovou rovinou v bode $(x_0,y_0)$.

-

Príklad 2. Napíšme rovnicu dotykovej roviny ku ploche danej rovnicou $z=f(x,y)=19-x^2-4y^2$ v bode $(1,2)$.

Riešenie: Na dosadenie do formulky (4.3) potrebujeme vypočítať hodnoty $f(x_0,y_0)$, $f_x(x_0,y_0)$ a $f_y(x_0,y_0)$ pre bod $(x_0,y_0)=(1,2)$. Postupne dostávame: $f(1,2)=2$, $f_x(1,2)=(-2x)_{(1,2)}=-2$, a $f_y(1,2)=(-8y)_{(1,2)}=-16$. Dosadením do (4.3) vidíme, že hľadaná rovnica dotykovej roviny je $z=2-2(x-1)-16(y-2)$, čo po úprave dáva $2x+16y+z-36=0$. $\clubsuit$

Definícia totálneho diferenciálu. Predpokladajme, že $f(x,y)$ má parciálne derivácie podľa oboch premenných spojité v bode $B=(x_0,y_0)$. Výraz

$$df(x,y)_B=f_x(x_0,y_0){\cdot}(x-x_0)+ f_y(x_0,y_0){\cdot}(y-y_0)$$ (4.4)

nazývame totálnym diferenciálom funkcie $f$ v bode $B=(x_0,y_0)$. Linearizácia a totálny diferenciál sú teda viazané rovnosťou $L(x,y)=f(B)+df(x,y)_B$. Ak prijmeme označenie $dx=x-x_0$ a $dy=y-y_0$, vzťah (4.4) nadobudne často uvádzaný tvar

$$df(x,y)_B=f_x(x_0,y_0)dx+ f_y(x_0,y_0)dy =f_x(B)dx+f_y(B)dy\ .$$ (4.5)

Kombináciou štandardnej lineárnej aproximácie (4.2) a totálneho diferenciálu (4.5) dostávame v okolí bodu $(x_0,y_0)$ približné rovnosti

$$f(x,y)\ \dot =\ f(x_0,y_0) +df(x,y)_B\ , \ \ {\rm alebo}\ \ f(x,y)-f(x_0,y_0)\ \dot =\ df(x,y)_B\ .$$

Totálny diferenciál preto reprezentuje približnú veľkosť zmeny hodnoty funkcie $f$ v bode $(x,y)$ v porovnaní s hodnotou v bode $(x_0,y_0)$. Približné odhady takýchto zmien majú v praxi veľký význam.

-

Príklad 3. Akú približnú percentuálnu zmenu objemu valca možno očakávať, ak sa polomer zväčší o 2 percentá a výška o 1 percento?

Riešenie: Objem valca je daný vzorčekom $V=V(r,h)=\pi r^2h$, kde $r$ je polomer a $h$ je výška valca. Už vieme, že veľkosť zmeny hodnôt funkcie $V$ v nejakom bode $(r,h)$ v porovnaní s hodnotou v bode $B=(r_0,h_0)$ možno približne odhadnúť jej totálnym diferenciálom $dV$. Ten je daný vzťahom (4.5) a v našom označení má tvar:

$$dV(r,h)_B= V_r(r_0,h_0)dr + V_h(r_0,h_0)dh\ ,$$ (4.6)

pričom $dr=r-r_0$ a $dh=h-h_0$. Ďalej vieme, že nová hodnota $r$ sa od pôvodnej hodnoty $r_0$ líši o plus 2 percentá, teda $r=1,02r_0$, čiže $dr=0,02r_0$. Podobne dostávame, že $dh=0,01h_0$. Pre dosadenie do (4.6) treba ešte vypočítať hodnoty parciálnych derivácií $V_r(r_0,h_0)$ a $V_h(r_0,h_0)$. Známym spôsobom dostávame: $V_r(r_0,h_0)=2\pi r_0h_0$, a $V_h(r_0,h_0)=\pi r_0^2$. Dosadením získaných rovností do (4.6) máme:

$$dV(r,h)_B=2\pi r_0h_0{\cdot}0{,}02r_0 + \pi r_0^2{\cdot}0{,}01h_0 =0{,}05\pi r_0^2h_0= 0{,}05{\cdot}V(r_0,h_0)\ .$$

Keďže $dV(r,h)_B\ \dot =\ V(r,h)-V(r_0,h_0)$, vidíme, že uvedené zmeny v polomere a výške valca vyvolajú zmenu objemu o približne 5 percent. $\clubsuit$

Linearizácia a totálny diferenciál funkcií troch a viac premenných sa definujú analogicky; podrobnosti prenechávame na samostatnú iniciatívu čitateľa.