Parciálne derivácie

Nech $z=f(x,y)$ je funkcia dvoch premenných s oborom definície $D$ a nech $(x_0,y_0)\in D$. Predstavme si, že graf tejto funkcie máme znázornený ako plochu v trojrozmernom priestore s pravouhlými súradnicovými osami $x,y,z$. Potom vertikálna rovina $y=y_0$ rovnobežná so súradnicovou rovinou $\rho_{xz}$ pretína našu plochu $z=f(x,y)$ v krivke s rovnicou $z=f(x,y_0)$. Táto krivka je vlastne grafom funkcie jednej premennej $z=f(x,y_0)$ v rovine $y=y_0$. Túto funkciu môžme jednoducho zderivovať podľa $x$ a tak vypočítať napr. smernicu dotyčnice ku krivke $z=f(x,y_0)$, ktorá leží v rovine $y=y_0$. Takto vypočítaná derivácia sa nazýva parciálna (čiže "čiastočná^) podľa premennej $x$, pretože za $y$ sa najprv dosadí konštanta $y_0$ a až potom sa počíta (obyčajná) derivácia funkcie jednej premennej podľa $x$. Formálne:

Definícia parciálnej derivácie. Pod parciálnou deriváciou funkcie $z=f(x,y)$ v bode $(x_0,y_0)$ vzhľadom na premennú $x$ rozumieme obyčajnú deriváciu funkcie jednej premennej $f(x,y_0)$ podľa $x$ (za predpokladu, že existuje). Pre túto parciálnu deriváciu sa používa ktorékoľvek z nasledujúcich označení:

$$\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0), \ \ \ \ \frac{\partia... ...artial x}(x_0,y_0), \ \ \ \ f_x(x_0,y_0), \ \ \ \ z_x(x_0,y_0).$$

Podľa uvedenej definície teda platí:

$$\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)= \frac{\partial z}{\partial x}(x_0,y_0)= f_x(x_0,y_0)=z_x(x_0,y_0)=f'(x,y_0)\ ,$$

pričom derivácia vpravo je obyčajná derivácia funkcie jednej premennej $f(x,y_0)$ podľa $x$. Parciálna derivácia funkcie $z=f(x,y)$ v bode $(x_0,y_0)$ podľa premennej $y$ sa definuje analogicky, spolu s označním $z_y(x_0,y_0)$, $f_y(x_0,y_0)$, atď.

-

Príklad 1. Vypočítajme parciálne derivácie funkcie

$$z=\frac{1+\sin x}{x+\cos y}$$

podľa oboch premenných v bode $(0,\pi)$.

Riešenie: Pre výpočet parciálnej derivácie $z_x(0,\pi)$ najprv dosadíme $y=y_0=\pi$ a potom používame známe pravidlá pre derivovanie funkcie jednej premennej (najprv pravidlo o derivovaní podielu, atď.) pre výpočet derivácie v bode $x_0=0$:

$$z_x(0,\pi)=\frac{d}{dx}\Big(\frac{1+\sin x}{x+\cos{\pi}}\Big)_{x=0}= \frac{d}{dx}\Big(\frac{1+\sin x}{x-1}\Big)_{x=0}$$

$$=\Big(\frac{(x-1)\cos{x}-1-\sin{x}}{(x-1)^2}\Big)_{x=0}=-2\ .$$

Podobne, pri výpočte parciálnej derivácie $z_y(0,\pi)$ podľa premennej $y$ najprv za $x$ dosadíme $x_0=0$ a potom počítame známym spôsobom obyčajnú deriváciu podľa $y$ v bode $y_0=\pi$:

$$z_y(0,\pi)=\frac{d}{dy}\Big(\frac{1+\sin{0}}{0+\cos{y}}\Big)_... ...Big)_{y=\pi} =\Big(\frac{\sin{y}}{\cos^2{y}}\Big)_{y=\pi}=0\ .$$

$\clubsuit$

Často sa stáva, že nás ani tak nezaujíma hodnota parciálnej derivácie v konkrétnom bode, ale v ľubovoľnom bode (pokiaľ existuje). Priradenia $(x_0,y_0)\mapsto f_x(x_0,y_0)$ a $(x_0,y_0)\mapsto f_y(x_0,y_0)$ potom definujú nové funkcie, ktoré nazývame jednoducho parciálnymi deriváciami funkcie $f(x,y)$; pri ich označovaní zvykneme vynechávať indexy a píšeme len $f_x(x,y)$ a $f_y(x,y)$. Poznamenajme, že definičné obory parciálnych derivácií $f_x$ a $f_y$ sa nemusia zhodovať s definičným oborom funkcie $f$.

Uvedené definície si čitateľ ľahko modifikuje pre prípad funkcií troch a viacerých premenných. Pravidlo počítania parciálnej derivácie podľa niektorej premennej je jednoduché: Všetky ostatné premenné sa pre účely derivovania považujú za konštanty.

-

Príklad 2. Vypočítajme parciálne derivácie $g_x$, $g_y$ a $g_z$ funkcie
$g(x,y,z)=x\arcsin{(\sqrt{xy})} + \ln{(y+e^z)}$.

Riešenie: Pre výpočet $g_x$ považujeme $y$ a $z$ za symboly označujúce konštanty a derivujeme podľa $x$; to napr. znamená, že celý druhý člen $\ln{(y+e^z)}$ bude po derivovaní podľa $x$ nulový! Po úprave (pozor na derivovanie zložených funkcií!) dostávame:

$$\begin{eqnarray*}g_x & = &\frac{d}{dx}\big(x\arcsin\sqrt{xy} + \ln{(y+e^z)}\big... ...y+0\\ &=&\arcsin\sqrt{xy} +\frac{1}{2}\sqrt{\frac{xy}{1-xy}}\ . \end{eqnarray*}$$

Podobne pre ďalšie dve parciálne derivácie máme:

$$\begin{eqnarray*}g_y & =&\frac{d}{dy}\big(x\arcsin\sqrt{xy} + \ln{(y+e^z)}\big)... ...ig)\\ &=&0 +\frac{1}{y+e^z}{\cdot}(0+e^z)= \frac{e^z}{y+e^z}\ . \end{eqnarray*}$$

$\clubsuit$