Metódy typu Runge-Kutta

Tieto metódy sú veľmi univerzálne a v technickej praxi užitočné. Tiež sú v podstate založené na Taylorovom rozvoji funkcie, ale nepriamo tak, aby sme nemuseli určovať hodnoty derivácií funkcie - tieto sa aproximujú výpočtom samotnej funkcie vo vhodne zvolených strategických bodoch. Ich všeobecná schéma je tvaru

$$y_{n+1} = y_n + \sum_{i=1}^r \alpha _i k_i, \ \ n=0,1,\dots,$$

kde

$$k_1 = f(x_n,y_n),\ \ k_i = f(x_n+\lambda_i h_n, y_n + \mu_i h_nk_{i-1}), \quad i=1,\dots r$$

a $\alpha_i, \lambda_i, \mu_i$ sú vhodne vybraté konštanty. V stručnosti si uvedieme len najznámejšie metódy. Rád konvergencie ani veľkosť chyby odvádzať nebudeme.

Metódy 2. rádu

• $r=2$, $\alpha_1=0$, $\alpha_2=1$, $\lambda_2=\mu_2=\frac12$
  Dostávame $k_1= f(x_n,y_n) ,\ \ k_2= f(x_n + \frac{h_n}{2}, y_n+ \frac{h_n}{2}k_1)$,
  $y_{n+1} = y_n +h_nk_2$.          (Modifikovaná Eulerova metóda).
• $r=2$, $\alpha_1=\alpha_2=\frac12$, $\lambda_2=\mu_2=1$.
  Dostávame $k_1= f(x_n,y_n) ,\ \ k_2= f(x_{n+1}, y_n+ h_n k_1)$
  $y_{n+1} = y_n +h_n\frac{k_1+k_2}{2}$,
           (Heunova metóda).

Metódy 4. rádu Uvedieme aspoň najpoužívanejšiu z nich:
$r=4$, $k_1= f(x_n,y_n) ,\ \ k_2= f(x_n + \frac{h_n}{2}, y_n+ \frac{h_n}{2}k_1)$, $k_3= f(x_n+\frac{h_n}{2},y_n+\frac{h_n}{2}k_2) , \ \ k_4= f(x_{n+1}, y_n+ h_n k_3)$, $y_{n+1} = y_n +h_n\frac{k_1+2k_2+2k_3+k_4}{6}$. -

Príklad 33. Máme Cauchyho úlohu ako v predchádzajúcom príklade. Riešme túto úlohu na intervale $\langle 1,2 \rangle$ s krokom $h=0,25$ modifikovanou Eulerovou metódou. Vypočítané hodnoty zapíšeme do tabuľky.

Riešenie: Riešenie budeme opäť hľadať v bodoch

$$x_1=1{,}25;\ \ x_2=1{,}5;\ \ x_3=1{,}75;\ \ x_4= 2.$$

Pre modifikovanú Eulerovu metódu v tomto prípade, keďže pravá strana nezávisí od $y$, nebudeme potrebovať určovať $k_1$. Máme

$$x_1=1{,}25, k_2 = -1{,}0-\frac{0{,}25}{2}+2 = 0{,}875,\ y_1=0+0{,}25\cdot 0{,}875 =0{,}21875$$

$$x_2=1{,}50, k_2 = -1{,}25-\frac{0{,}25}{2}+2{,}0) = 0{,}625,$$

$$y_2=0{,}21875+0{,}25\cdot 0{,}625 = 0{,}375$$

$$x_3=1{,}75, k_2 = -1{,}5-\frac{0{,}25}{2}+2 = 0{,}375,\ y_3=0{,}375+0{,}25\cdot 0{,}375 = 0{,}46875$$

$$x_4=2{,}00, k_2 = -1{,}75-\frac{0{,}25}{2}+2 = 0{,}125,\ y_1=0{,}46875+0{,}25\cdot 0{,}125 =0{,}5$$

Teda

i	$x_i$	$y(x_i)$	$y_i$ - mod. Euler
0	1,000	0,000	0,000
1	1,250	0,218	0,219
2	1,500	0,375	0,375
3	1,750	0,468	0,469
4	2,000	0,500	0,500

-

Príklad 34. Určme riešenie diferenciálnej rovnice so začiatočnou podmienkou:

$$y^\prime = y^2, \quad y(0)=-4,$$

Eulerovou metódou, modifikovanou Eulerovou metódou, Heunovou metódou a Runge-Kuttovou metódou 4. rádu na intervale $\langle 0{,}1 \rangle$ s krokom $h=0{,}1.$ Hodnoty približných riešení porovnajme s analytickým riešením.

Riešenie: Z vlastnosti pravej strany vieme, že existuje práve jedno riešenie tejto Cauchyho úlohy. Toto riešenie je tvaru

$$y= -\frac{1}{x+0{,}25}$$

a dostaneme ho použitím metódy separácie premenných. Keďže krok metódy je ekvidistantný $h=0{,}1$, riešenie hľadáme v bodoch

$$x_i = 0{,}1\cdot i, \quad i=1{,}2,\dots,10.$$

Pre hodnoty $y_i, \ i=1{,}2,\dots,10$ dostávame pre jednotlivé schémy vzhľadom na pevný krok a tvar pravej strany vzorce: Eulerova metóda:

$$y_{i+1} = y_i + h y_i^2, \ \ \ i=1{,}2,\dots,10;$$

modifikovaná Eulerova metóda:

$$y_{i+1} = y_i + h( y_i+0{,}5 h y_i^2)^2, \ \ \ i=1{,}2,\dots,10;$$

Heunova metóda:

$$y_{i+1} = y_i + 0{,}5h( y_i^2+(y_i+hy_i)^2)^2), \ \ \ i=1{,}2,\dots,10;$$

metóda Runge-Kutta 4. rádu:

$$y_{i+1}= y_i +\frac{h}{6} ( k_1 +2 k_2+2k_3 + k_4),$$

kde

$$k_1 = y_i^2,\ \ k_2 = \( y_i+\frac{h}{2} k_1\)^2,$$

$$k_3 = \( y_i+\frac{h}{2} k_2\)^2,\ \ k_4 = ( y_i+h k_3)^2,\ \ i=1{,}2,\dots,10.$$

Výsledky zapíšeme do tabuľky:

i	$x_i$	$y(x_i)$	$y_i$ - Euler	$y_i$ - mod. Euler	$y_i$ - Heun	$y_i$ - R-K
0	0,000	-4,00000	-4,000	-4,000	-4,000	-4,000
1	0,100	-2,85714	-2,400	-2,976	-2,912	-2,85734
2	0,200	-2,22222	-1,824	-2,3343	-2,275	-2,2224
3	0,300	-1,81818	-1,149	-1,90918	-1,86179	-1,81832
4	0,400	-1,53846	-1,2689	-1,61095	-1,57369	-1,53857
5	0,500	-1,33333	-1,10789	-1,39156	-1,36195	-1,33342
6	0,600	-1,17647	-0,98515	-1,22392	-1,2	-1,17654
7	0,700	-1,05263	-0,88809	-1,0919	-1,07224	-1,05269
8	0,800	-0,95238	-0,80923	-0,98534	-0,96894	-0,95243
9	0,900	-0,86956	-0,74374	-0,89758	-0,88371	-0,8696
10	1,000	-0,8	-0,68843	-0,82408	-0,81221	-0,80003