Úvod

Z predchádzajúcich kapitol už máme predstavu, že je len veľmi málo diferenciálnych rovníc, ktorých exaktné riešenie vieme nájsť. Preto pri hľadaní riešenia začiatočných úloh je často jedinou možnosťou nájsť numerické riešenie. V našich úvahách sa obmedzíme na hľadanie približného riešenia počiatočnej úlohy pre diferenciálnu rovnicu prvého rádu. Túto úlohu môžeme vo všeobecnosti zapísať v tvare

$$y^\prime = f(x,y),\ \ \ y(x_0) =y_0.$$ (3.32)

Všetky úvahy a výsledky sa však dajú rozšíriť aj pre systémy diferenciálnych rovníc. Základom, z ktorého vychádza väčšina numerických metód riešenia začiatočných úloh je diskretizácia premenných. Znamená to, že približné riešenie sa nekonštruuje ako spojitá funkcia, ale postupne sa pre množinu navzájom rôznych bodov $x_0$, (bod, v ktorom je daná začiatočná podmienka), $x_1, x_2,\dots$ hľadajú čísla $y_0$ (hodnota začiatočnej podmienky), $y_1,y_2,\dots$, ktoré aproximujú hodnoty $y(x_0), y(x_1),\dots$ presného riešenia v bodoch siete $x_0,x_1,\dots$. Body siete - uzly nemusia byť ekvidistantné to jest vzdialenosť medzi nimi, tzv. krok metódy $h_n = x_{n+1}-x_n$ môže závisieť na $n$. Pritom aproximácia $y_n$ presného riešenia $y(x_n)$ v bode $x_n$ sa počíta z hodnôt približného riešenia v už vypočítaných uzloch. Týmto metódam hovoríme metódy diskrétnej premennej alebo diferenčné metódy. Metóda, ktorá k tomuto riešeniu používa rekurentný vzťah, v ktorom je $y_{n+1}$ vyjadrená pomocou $k$ hodnôt $y_n, y_{n-1}, \dots, y_{n+1-k}$ sa nazýva $k$-kroková metóda. Ak je $k=1$, hovoríme o jednokrokovej metóde. Vzhľadom na cieľ a rozsah týchto skrípt sa v ďalšom obmedzíme len na stručný výklad dvoch najbežnejších typov jednokrokových metód.