Cvičenia

Vypočítajte súradnice ťažiska homogénnych rovinných oblastí ohraničených krivkami. 226. $y = 4 - x^2,\ y = 0$, 227. $y = x - x^2, x + y = 0$, 228. $x = y - y^3,\ x = 0,\ y \in \langle 0,1 \rangle$, 229. $y = 2x^2 - 4x,\ y = 2x - x^2$, 230. $y = \cos x,\ x = \frac{\pi}{2},\ x = 0,\ y = 0$, 231. $y = \sin x,\ x = \frac{\pi}{2},\ x = 0,\ y = 0$. 232. Vypočítajte súradnice ťažiska nehomogénnej rovinnej oblasti s plošnou hustotou $\varrho(x) = cx^2$ ohraničenej krivkou $y = 4 - x^2$ a osou $o_x$.
Vypočítajte súradnice ťažiska homogénneho hmotného oblúka určeného parametrickými rovnicami. 233. $x = a~\cos t,\ y = b \sin t,\ t \in \langle 0,\frac{\pi}{2} \rangle$, 234. $x = a\cos^3 t,\ y = a~\sin^3 t,\ t \in \langle 0,\frac{\pi}{2} \rangle$, 235. $x = t^2,\ y = t - \frac{t^3}{3},\ t \in \langle 0,\sqrt{3} \rangle$, 236. $x = a(\cos t + t \sin t),\ y = a(\sin t - t \cos t),\ t \in \langle 0,\pi \rangle$, 237. Nájdite súradnice ťažiska štvrťkružnice $x^2 + y^2 = r^2,\ x \geq 0,\ y \geq 0$, ktorej lineárna hustota je v každom bode rovná súčinu súradníc bodu.
V nasledujúcich príkladoch použite Guldinove vety. 238. Vypočítajte súradnice ťažiska oblúka kružnice $x = r \cos t,\ y = r \sin t,\ t \in \langle -\alpha,\alpha \rangle$. 239. Vypočítajte objem telesa vytvoreného rotáciou polkruhu s polomerom $r$ okolo dotyčnice rovnobežnej s jeho priemerom. 240. Vypočítajte objem a povrch telesa, ktoré vznikne rotáciou obdĺžnika so stranami dĺžky $6$ a $8$ okolo osi prechádzajúcej vrcholom a kolmej na jeho uhlopriečku. 241. Vypočítajte objem a povrch telesa, ktoré vznikne rotáciou pravidelného $n$-uholníka so stranou dĺžky $a$ okolo jednej z jeho strán.