Použitie určitého integrálu

Viaceré úlohy z geometrie a fyziky riešime pomocou výpočtu určitých integrálov. Takéto úlohy sa skladajú z dvoch častí. V prvej prevedieme riešenie daného geometrického alebo fyzikálneho problému na riešenie niektorého určitého integrálu. V druhej tento určitý integrál vypočítame. Druhú fázu v riešeniach niektorých príkladov tejto kapitoly prenecháme čitateľovi.

Rôznorodé použitie určitého integrálu prebieha podľa nasledujúceho všeobecného princípu.

Predpokladajme, že hodnoty niektorej veličiny $y = f(x)$ v ľubovoľnom intervale svojho definičného oboru $x \in \langle a,b \rangle$ jednoznačne určujú číselnú hodnotu $z(f,a,b)$ veličiny $z$ (závislú od funkcie $f$ a hraníc intervalu!). Nech táto závislosť spĺňa dve podmienky

• $z(f,a,b) = z(f,a,c) + z(f,c,b)$, ak $c \in (a,b) \subset D(f)$ (aditivita),
• Ak $m < f(x) < M$ pre všetky $x \in \langle a,b \rangle$, tak $m(b-a) < z(f,a,b) < M(b-a)$ (ohraničenosť).

Potom platí

$$z(f,a,b) = \int_a^b f(x)\,dx.$$

Príkladmi takýchto závislostí sú napríklad funkcia $S(f,a,x)$ spomínaná ako $S(x)$ v úvode tejto kapitoly alebo práca vykonaná pôsobením sily po niektorej krivke.