Cvičenia

V nasledujúcich šiestich cvičeniach bez výpočtu určite, ktorý z dvojice integrálov je väčší.

 66. a) $\int\limits_0^1 x\,dx$     b) $\int\limits_0^1 x^2\,dx$.		 67. a) $\int\limits_1^2 x\,dx$     b) $\int\limits_1^2 x^2\,dx$.

 68. a) $\int\limits_0^{\frac{\pi}{2}} x\,dx$     b) $\int\limits_0^{\frac{\pi}{2}} \sin x\,dx$.		 69. a) $\int\limits_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^6 x\,dx$     b)    $\int\limits_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^7 x\,dx$.

 70. a) $\int\limits_0^1 e^{-x^2}\,dx$     b) $\int\limits_0^1 e^{-x^3}\,dx$.		 71. a) $\int\limits_{-2}^{-1} \frac{1}{3}^x\,dx$     b) $\int\limits_{-2}^{-1} 3^x\,dx$.

V nasledujúcich cvičeniach bez výpočtu pomocou vzťahu (2.9) odhadnite dané integrály.

 72. $\int\limits_0^2 \frac{dx}{10 + x}$, 		 73. $\int\limits_0^1 e^{x^2}\,dx$, 

 74. $\int\limits_1^2 \frac{x\,dx}{x^2+1}$, 		 75. $\int\limits_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{x}\,dx$, 

 76. $\int\limits_{10}^{18} \frac{\cos x}{\sqrt{1+x^4}}\,dx$, 		 77. $\int\limits_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{dx}{5 + 3 \cos^2 x}$. 

78. Ukážte platnosť vzťahov (2.10) a (2.12).
79. Ukážte platnosť vzťahov
$\int\limits_{-\pi}^{\pi} \sin nx\,dx = 0 ,\qquad \int\limits_{-\pi}^{\pi} \cos nx\,dx = 0 ,\qquad n \in \mathcal{N},$
$\int\limits_{-\pi}^{\pi} \sin mx \cos nx\,dx = 0 ,\qquad m, n \in \mathcal{N},$
$\int\limits_{-\pi}^{\pi} \sin mx \sin nx\,dx = 0 ,\ m \neq n$    a     $\int\limits_{-\pi}^{\pi} \sin mx \sin nx\,dx = \pi,\ m = n.\\$
V nasledujúcich cvičeniach nech $f$ a $g$ sú spojité funkcie v intervale $\langle a,b \rangle$.
80. Ukážte, že platí $\int\limits_a^b f(x) g(a~+ b - x)\,dx = \int\limits_a^b g(x) f(a~+ b - x)\,dx.$ (Návod: Použite substitúciu $t = a~+ b - x$.)
Vhodnou voľbou funkcie $g$ v predchádzajúcom cvičení ukážte, že platí
81. $\int\limits_a^b f(x)\,dx = \int\limits_a^b f(a+b-x)\,dx$.
82. $\int\limits_{-a}^a f(x)\,dx = \int\limits_{-a}^a f(-x)\,dx$.
83. $\int\limits_0^1 x^m (1-x)^n \,dx = \int\limits_0^1 x^m (1-x)^n \,dx$.
Použitím trigonometrického vzťahu $\cos x = \sin (x+\frac{\pi}{2})$ a predchádzajúcich cvičení ukážte, že platí
84. $\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(\sin x)\,dx = \int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(\cos x)\,dx$.
85. Pomocou predchádzajúceho cvičenia vypočítajte $\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^2 x\,dx$ a  $\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^2 x\,dx$.
86. Pomocou vzťahu (2.11) ukážte, že $\int\limits_{-a}^a \sin x f(\cos x)\,dx = 0$.
87. Ukážte, že platí $\int\limits_{-a}^a f(x)\,dx = \int\limits_0^a \left( f(x) + f(-x) \right)\,dx$.
88. Ukážte, že platí $\int\limits_0^{\pi} x f(\sin x)\,dx = \frac{\pi}{2}\int\limits_0^{\pi} f(\sin x)\,dx$.
89. Použitím predchádzajúceho cvičenia vypočítajte $\int\limits_0^{\pi} x \sin^2 x$.
90. Použitím vzťahov v tejto časti oddôvodnite, prečo sú všetky nasledujúce integrály rovné $0$.

$$\int\limits_{-1}^1 \sin 3x \cos 5x\,dx,\ \int\limits_{-\ln... ...}\,dx,\ \int\limits_0^{2 \pi} \sin x \sqrt{\cos^3 x + 1}\,dx.$$